Für welche x konvergiert die Reihe?

08.04.2006, 18:06

Linchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Für welche x konvergiert die Reihe?

halli hallo,

habe ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{k(ln k)^x} \end{eqnarray*}$

und soll nun bestimmen für welche x die Reihe konvergiert. Bekannte Konvergenzkriterien wie Wurzel- bzw. Quotientenkriterium funktionieren ja leider nicht :/

Schon mal vielen Dank für eure Hilfe

08.04.2006, 19:05

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Probiere es mal mit dem Integral- oder mit dem Cauchykriterium!
edit: Ich meinte natürlich das Cauchysche Verdichtungskriterium, danke Arthur.

Gruß MSS

08.04.2006, 20:03

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS

Um genau zu sein: Du meinst vermutlich das Cauchysche Verdichtungskriterium!

Nur um Verwechslungen mit dem sich davon unterscheidenden Cauchyschen Kriterium vorzubeugen. Wink

Wink

09.04.2006, 00:23

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. War wohl etwas unkonzentriert vorhin ...

Gruß MSS

09.04.2006, 02:55

Linchen

Auf diesen Beitrag antworten »

könnt ihr mir das vielleicht erklären?

09.04.2006, 13:26

Linchen

Auf diesen Beitrag antworten »

also hab das nun mal nachgelesen un das C-Kriterium gilt ja für harmonische Reihen, die ich ja hier auch habe.

Auch gilt, dass bei x < 1 Divergenz vorliegt. aber wie komm ich nun drauf, wie groß mein x ist.

Anzeige

09.04.2006, 13:42

Marcyman

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib doch mal die verdichtete Reihe auf. Das Verdichtungskriterium gilt übrigens für eine Reihe, deren Summanden eine nicht negative monoton fallende Folge bilden.

09.04.2006, 13:46

Linchen

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß gar nicht wie ich das machen soll?! traurig

traurig

09.04.2006, 13:50

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt, was das Cauchysche Verdichtungskriterium ist? Dann schreib doch einfach mal $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^na_{2^n} \end{eqnarray*}$ auf und summiere darüber. Dann erkennst du, für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert.

Gruß MSS

09.04.2006, 14:31

Linchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt, was das Cauchysche Verdichtungskriterium ist? Dann schreib doch einfach mal a_n und 2^na_{2^n} auf und summiere darüber. Dann erkennst du, für welche x die Reihe konvergiert.

Gruß MSS

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{k(ln k)^x} \end{eqnarray*}$ das ist mein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$

und dann ist mein $\begin{eqnarray*} 2^na_{2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{k[(ln k)^k]^{(1-x)}} \end{eqnarray*}$

? das 1-x soll hochgestellt sien

edit: Latex-Code verbessert, Exponenten müssen in geschweifte Klammern! (MSS)

09.04.2006, 19:52

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn darauf? Ich hätte natürlich besser $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^k\cdot a_{2^k} \end{eqnarray*}$ schreiben sollen. Dabei setzt du einfach $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ein und multiplizierst das Ganze mit $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ . Woher nimmst du das $\begin{eqnarray*} 1-x \end{eqnarray*}$ ?

PS: Exponenten musst du in gewschweifte Klammern schreiben!

Gruß MSS

09.04.2006, 21:13

Linchen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{2^{k}(ln 2^{k})^x} * 2k \end{eqnarray*}$

also so? und wie mach ich da jetzt weiter? mühsam ernährt sich das Eichörnchen

09.04.2006, 21:36

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal meinst du sicher

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{2^{k}(ln 2^{k})^x} * 2^k \end{eqnarray*}$

Und den Logarithmus im Nenner kannst du unter Einsatz der Logarithmengesetze auch noch vereinfachen.

09.04.2006, 21:50

Linchen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{2^{k}(ln 2^{k})^x} * 2^k \end{eqnarray*}$

wenn ich dann das 2^k kürze, komm ich auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{(ln 2^{k})^x} \end{eqnarray*}$

mit logarithmen konnt ich noch nie viel anfangen

09.04.2006, 21:55

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wird's Zeit.

09.04.2006, 21:58

Linchen

Auf diesen Beitrag antworten »

die "normalen" gesetze kenn ich... aber wie wende ich das auf Potenzen an?

09.04.2006, 22:02

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu den normalen Gesetzen gehört auch $\begin{eqnarray*} \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \end{eqnarray*}$ .

09.04.2006, 22:09

Linchen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{(ln 2^{k})^x} \end{eqnarray*}$

wird dann quasi zu

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{(k*ln (2))^x} \end{eqnarray*}$

und das zu

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{(k^x*x*ln (2))} \end{eqnarray*}$

????

09.04.2006, 22:24

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Woher kommt denn auf einmal das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Nenner? Du müsstest auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{k^x\cdot (\ln 2)^x} \end{eqnarray*}$

kommen. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\ln 2)^x} \end{eqnarray*}$ kannst du als Konstante rausziehen und dann hast du noch die harmonische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{k^x} \end{eqnarray*}$ ,

deren Konvergenzverhalten du kennen solltest.

Gruß MSS

09.04.2006, 22:28

Linchen

Auf diesen Beitrag antworten »

also konvergiert die Reihe für x> 1?

die harmonische Reihe ist ja divergent, aber ich muss ja sagen für welche x konvergenz vorliegt

09.04.2006, 22:29

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sie konvergiert für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Linchen
die harmonische Reihe ist ja divergent

Mit der harmonischen Reihe meinte ich alle Reihen der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^x} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

09.04.2006, 22:32

Linchen

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank du hast mir sehr weitergeholfen smile

smile

werden uns wohl noch des Öfteren hören Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber verzweifel auch grad bei einem anderen Thread

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »