Trapezregel

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Linchen Auf diesen Beitrag antworten »
Trapezregel
Guten Abend :-)

Habe die Suchfunktion benutzt, aber leider nicht das Passende gefunden. Als Vorbereitung auf eine Klausur geht es um Folgendes:

Ich habe eine Funktion f, die über [a,b] integrierbar ist. Nun soll ich zeigen, dass die Trapezregel



für jede konvexe Fkt. eine obere Schranke für das Integral liefert?

Und wie kann ich mit der T.regel eine Näherungsformel (Summe) zur Berechnung folgenden Integrals ableiten?



bin da leider im Moment etwas überfordert.

Danke schonmal für eure Antworten am Samstag Abend smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Gleichheitszeichen gehört da wohl nicht hin. Sonst wäre die Integralrechnung ja wirklich einfach.
Linchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja richtig das wollte ich hinzufügen... das sollen so "ungefähr" zeichen sein Big Laugh Schläfer
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft dir die schlechte, aber hoffentlich aussagekräftige Skizze
du suchst genau den Flächeninhalt des halben Rechtecks [f(a)+f(b)]*(b-a)

erinnere dich, wie die anschauliche Definition (vielleicht auch eure Def.?) von konvexen Funktionen ist.
Linchen Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich mich richtig erinnere, ist eine konvexe Funktion doch genau die, wo die Sekante quasi über der Fkt. verläuft?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

so gesprochen ja (für den obigen Fall von IR nach IR)

und dann sollte das Bild zumindest schon mal völlig den anschaulichen Beweis liefern, oder?
 
 
Linchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja auf jeden Fall smile stimmt, also kann ich sagen, dass die o.g. Näherungsformel für konvexe Funktionen eine obere Schranke ist?!

und wie kann ich das auf das e^x ableiten?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Linchen
ja auf jeden Fall smile stimmt, also kann ich sagen, dass die o.g. Näherungsformel für konvexe Funktionen eine obere Schranke ist?!

sagen kannst du es auf jeden Fall, aber zeigen solltest du es auch noch
dafür musst halt mal deine mathematische Definition rauskramen, oder wenns dus so nicht hinbekommst, etwas rumeiern und das erklären

Zitat:
und wie kann ich das auf das e^x ableiten?

f(x)=e^x einsetzen!? gibt zumindest schon mal ne OBERE schranke.
Linchen Auf diesen Beitrag antworten »

wie kann ich es denn mathematisch schön verpacken, weil ich weiß ja, dass die Näherungsformel die obere Schranke ist, weil die konvexen Funktionen quasi "darunter" verlaufen?

wie meinst du das mit einsetzen?

so?

verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist schlichtweg alleine keine Näherung, sondern NUR obere Schranke

Wenn z.B. eure Definition ist, dass für eine auf [a,b] konvexe Funktion für alle c zwischen a und b f(c)<=.... (dem Geradenstückwert bei c) ist, dann könntest du das Integral z.B. als Grenzwert der Obersumme auffassen (der Obersummenfunktionswert ist dabei stets <= ....).
Wie gesagt, schau nach eurer Definition, wenn ich mich an konvexe Geometrie richtig erinnere, war die bei uns (für konv. Funktionen von IR nach IR:
oder so ähnlich


zur 2. meinte ich schon e^x für f einzusetzen, und das = ist wieder falsch, es muss <= heißen
Linchen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist zwar jetzt nicht der Sinn dieses Forums, aber könntest du mir die Lösung mal aufschreiben, dann seh ich glaub ich am Besten wo mein Problem liegt. Dass mit dem = Zeichen hab ich nicht besser hingekriegt soll halt wirklich ein ~~ sein. Und das mit der oberen Schranke ist aufgrund der Konvexität (*g*) eigentlich auch klar.

e^x ist ja auch eine konvexe Funktion und wenn ich da die o.g. Formel betrachte, dann gilt diese ja auch als obere Schranke.

ich find nur den Übergang nicht, wie ich mithilfe der Trapezregel eine Näherungsformel für e^x finden kann und dass diese gegen das Integral konvergiert.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

habs ja schon gesagt, mehr als einsetzen (was du noch nicht gemacht hast) und eine obere Schranke finden fällt mir auch nicht ein
das ganze ist noch bekanntlich >0, damit hast dann eine Näherung, die ist halt ungenau, vielleicht sieht wer anders noch mehr
Linchen Auf diesen Beitrag antworten »

gut ich setze dann für jedes f ein e^x ein, ok.. un dass das ziemlich ungenau ist, ist ja klar. aber kann ich das nicht mit mehreren nachfolgenden Gliedern genauer machen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, das wäre eine Idee Freude
Du kannst das Intervall [a,b] jetzt zerlegen und dann einzeln "integrieren" (also mit der obere Schrankeformel).
Je genauer du das zerlegst, desto genauer wird das Ergebnis.
Für eine unendliche Zerlegung hast du dann vermutlich exakt dein Integral.

Versuch's mal und poste, wie weit du kommst.
Linchen Auf diesen Beitrag antworten »

verstehst du jetzt mein Problem? du hast mir anfangs auf die Sprünge geholfen und dann ging's eigentlich. ich kann mit Worten ausdrücken was ich machen will, aber leider könnte ich das was ich grad gesagt habe nicht in "mathematisch" beschreiben...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

dann versuchs; wenn die mathematische Symbolik oder so daneben geht, ist es ja nicht Schlimm.

Zerlege dein Intervall erst mal in n Teile und schreibe die zugehörige Summe auf.
Linchen Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann das nicht und muss das bis morgen wissen traurig
Linchen Auf diesen Beitrag antworten »

ich setze jetzt einfach mal e^x in meine T.regel ein:

= 1,86

(da stimmt wieder das =-Zeichen nicht, da gehört ein ungefähr hin)

das konvergiert ja jetzt gegen mein e^x aber ich habe immer noch einen relativ hohen Fehler. Wie kann ich da jetzt die Glieder anbauen?
n! Auf diesen Beitrag antworten »

also, wenn ich das jetzt richtig verstehe, willst du den Wert des bestimmten Integrals möglichst gut annähern. Bei Anwendung der Trapezregel ist der Fehler natürlich für numerische Verhältnisse noch groß. Wir kennen ja dank dem Hauptsatz den "wahren" Wert des Integrals, der liegt bei .

Deine Idee mehrere Glieder auszurechnen ist richtig. Dafür braucht man die "summierte Trapezregel" und die lautet so:



hier íst jetzt nur noch sturres einsetzen gefordert, wobei

für n=3 liefert diese Formel schon einen sehr guten Näherungswert
Linchen Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich denn auch irgendwie an der Anzahl der Glieder sehen, wie viele Folgeglieder ich benötige um eine bestimmte korrekte Anzahl an Nachkommastellen zu bekommen?
n! Auf diesen Beitrag antworten »

puh, da sind wir ja gerade mitten in der Numerik angelangt.

zu deiner Frage: Ja, das kann man. Es hängt jedoch ab, was für Kenntnisse du aufweisen kannst bzw wie ihr so was gehandhabt habt.

Ich könnte dir jetzt sagen, dass man für die Genauigkeit 4 Glieder braucht (also n=4). Dazu braucht man aber den Peanokern der Trapezregel. Wie gesagt: Es gibt auch andere Methoden, aber ich kenne nur die mithilfe des Peanokerns
Linchen Auf diesen Beitrag antworten »

das hatten wir zwar noch nicht, aber könntest du mir das vielleicht trotzdem erklären? smile liebe grüße
n! Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, aber das ist ein langer Weg bis zu dieser Lösung, da man schon davor ganz andere Begriffe braucht um das herzuleiten bzw zu verstehen. Unter anderem Begriffe wie:

-Ordnung und Maximalordnung einer Quadraturformel
-Symmetrie einer Quadraturformel

Das ist Stoff für ein bis zwei Vorlesungen. Vielleicht kannst du ja mal im Netz dich erkundigen
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