Körpertemperatur Differentialgleichung

08.04.2006, 19:03

AmelieS.

Körpertemperatur Differentialgleichung

Hallo,
ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komm.
Die Körpertemperatur wird gemessen. T(t) sei die vom Thermometer angezeigte Temperatur. Die Änderungsrate sei proportional zur Differenz zwischen Körpertemperatur und gemessener Temperatur.

Die Diffentialgleichung kann ich noch aufstellen: $\begin{eqnarray*} T'(t)=a(37-T(t) \end{eqnarray*}$
Aber dann kommt die Aufgabenstellung: Die Anzeige der Messung steigt in der ersten halben Minute von 17 auf 34,3 Grad. Bestimme T(t)
Wie kommt man da auf das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} T(t)=37-a*e^{kt} \end{eqnarray*}$ ??

08.04.2006, 19:47

sqrt(2)

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Man löst die Differentialgleichung (sie ist separierbar).

Das ist in Aufgaben für Schüler aber eigentlich gar nicht gefragt. Du sollst in die Lösung der DGL einfach einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 17&=&37-ae^{0k}\\34.3&=&37-ae^{\frac{1}{2}k} \end{eqnarray*}$ (t in Minuten)

... und das Gleichungssystem nach a und k lösen.

09.04.2006, 08:48

AmelieS.

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das ist dann ja recht einfach. Ich wär bloß nicht auf die erste Gleichung gestoßen.

Hinter dieser Aufgabe ist eine weitere, die ich nicht auflösen kann.

$\begin{eqnarray*} (1-e^{-40k})/(1-e^{-120k})=0.675 \end{eqnarray*}$

Wie lös ich die Gleichung auf?

09.04.2006, 10:31

Leopold

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Substituiere

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{-40k} = z \, , \ \ \operatorname{e}^{-120k} = z^3 \end{eqnarray*}$

und verwende

$\begin{eqnarray*} 1 - z^3 = (1 - z)(1 + z + z^2) \end{eqnarray*}$

09.04.2006, 10:38

mYthos

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Zitat:

Original von AmelieS.
das ist dann ja recht einfach. Ich wär bloß nicht auf die erste Gleichung gestoßen.

Hinter dieser Aufgabe ist eine weitere, die ich nicht auflösen kann.

$\begin{eqnarray*} (1-e^{-40k})/(1-e^{-120k})=0.675 \end{eqnarray*}$

Wie lös ich die Gleichung auf?

Setze $\begin{eqnarray*} z = e^{-40k} \end{eqnarray*}$

es wird

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - z}{1 - z^3} = 0.675 \end{eqnarray*}$

durch 1 - z kann gekürzt werden (binomische Formel!), wenn $\begin{eqnarray*} z \neq 1 \end{eqnarray*}$ ist;
bei z = 1 ist k = 0

Die quadratische Gleichung nach z lösen, dann rücksubstiuieren:

$\begin{eqnarray*} e^{-40k}=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -40k = ln(z) \end{eqnarray*}$

-> k

mY+

EDIT:
zu spät, Crossposting
@Leopold, sah deinen Post zuvor nicht

09.04.2006, 11:08

AmelieS.

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danke.

diese e-Funktionen bringen mich nochmal um. Ich hab schon wieder eine Aufgabe, wo ich nicht weiß, wie die auf die Differentialgleichung kommen.

Die Zunahme einer Salzkonzentration sei proportional zu der Differenz zwischen Sättigungswert und aktueller Konzentration:

$\begin{eqnarray*} c'(t)=k(c_0-c(t)) \end{eqnarray*}$

Aber wie kommen die darauf, dass, wenn der Proportionalitätsfaktor 3 ist, die Gleichung $\begin{eqnarray*} c(t)=m_0-ae^{-3t} \end{eqnarray*}$ ist??

09.04.2006, 20:48

Abakus

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Hier hast du nochmal ein anderes Beispiel offenbar. Dass der Proportionalitätsfaktor bzw. deine Lösung richtig ist, kannst du zB durch Differenzieren und Einsetzen rausfinden.

Grüße Abakus smile

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