Differentialgleichung - Konstanten bestimmen

01.07.2008, 19:49

steka

Differentialgleichung - Konstanten bestimmen

Hi Leute,
in einer Modulprüfung aus diesem Jahr heisst es:
"Bestimmen sie für die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{n+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\vec{x},t)= e^{t \mid \mid \vec{x} \mid \mid ^{2} } \end{eqnarray*}$ zwei Konstanten $\begin{eqnarray*} \alpha , \beta \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die partielle Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} \nabla f = \alpha *t² *\frac{df}{dt} +\beta tf \end{eqnarray*}$
löst. Hierbei stellt $\begin{eqnarray*} \nabla \end{eqnarray*}$ den Laplace-Operator bezogen auf $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ dar.

Gut....gut... Hammer

Was zum Teufel muss ich da tun ? Augenzwinkern

Ich hab wirklich absolut keine Ahnung. Bisher war ich nur Aufgaben wie "Zeigen sie, dass (blabla) zur Lösung der partiellen Differentialgleichung genügt".

03.07.2008, 14:10

Orakel

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RE: Differentialgleichung - Konstanten bestimmen
wenn du mal die partiellen ableitungen

$\begin{eqnarray*} \partial_t f(t,x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \partial_{x_j}^2f(t,x) \end{eqnarray*}$

berechnest und alles in die partielle differentialgleichung einsetzt, dann kannst du die konstanten $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ direkt ablesen!!!

03.07.2008, 23:26

steka

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Naja, ehrlich gesagt kann ich das nicht.
Ich weiss nämlich grad nicht, was ich mit dem Betrag von X anfangen soll.

Das dürfte doch die Euklidische Länge sein, aber was setz ich dafür ein ?

03.07.2008, 23:31

therisen

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$\begin{eqnarray*} \|x\|^2=\sum_{i=1}^n x_i^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=(x_1,\dots, x_n) \end{eqnarray*}$ .

03.07.2008, 23:52

steka

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Danke !
Das hab ich mittlerweile durch Überlegung auch rausgekriegt, mir fehlts aber noch völlig an Vorstellung was damit wird, wenn ich den Mist nach t oder x ableite Augenzwinkern

04.07.2008, 09:45

therisen

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$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right)=\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \sum_{i=1}^n x_i^2=\exp(t\|x\|^2)\|x\|^2 \end{eqnarray*}$

Das ist doch nicht schwer.

11.07.2008, 11:51

steka

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Zitat:

Original von therisen
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right)=\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \sum_{i=1}^n x_i^2=\exp(t\|x\|^2)\|x\|^2 \end{eqnarray*}$

Das ist doch nicht schwer.

Irgendwo hab ich da noch einen Bock drin.

Die Ableitung nach t hab ich natürlich auch so hingekriegt, aber ich glaub bei der nach X hab ich einen Denkfehler:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right)=2*\sum_{i=1}^n x_i*\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right)*t \end{eqnarray*}$

Setze ich das in die Formel ein, dann kürzt sich die e-Funktion auf beiden Seiten raus, ich behalte aber dieses 2*summe... drin.

Am Ende steht dann das hier:
$\begin{eqnarray*} 2*\sum_{i=1}^n x_i=\alpha * t + \beta \end{eqnarray*}$

11.07.2008, 12:47

therisen

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Zitat:

Original von steka
Die Ableitung nach t hab ich natürlich auch so hingekriegt, aber ich glaub bei der nach X hab ich einen Denkfehler:

Du sollst doch nach $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ableiten und nicht nach $\begin{eqnarray*} x=(x_1,\dots, x_n) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von steka
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right)=2*\sum_{i=1}^n x_i*\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right)*t \end{eqnarray*}$

Die Ableitung für t habe ich dir doch schon genannt. Für das Nachdifferenzieren schau dir mal $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_i} \left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right)=2x_it \end{eqnarray*}$ an.

11.07.2008, 13:05

steka

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Ok, dann war meine allererste Ableitung vielleicht doch richtig. Ich hatte es so aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right)=2*x_i*t*\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \end{eqnarray*}$

11.07.2008, 13:46

therisen

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Zitat:

Original von steka
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right)=2*x_i*t*\exp\left(t\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \end{eqnarray*}$

Und wieder hast du $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t} \end{eqnarray*}$ geschrieben... Falls du nach $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ abgeleitet hast: Das Ergebnis stimmt.

11.07.2008, 13:53

steka

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Äh, ja.. stimmt. Sorry Augenzwinkern

Problem:
ich erhalte als Lösung der Funktion:

$\begin{eqnarray*} 2*x_i = \alpha * t * \sum_{i=1}^n x_i^2 + \beta \end{eqnarray*}$

Wie geh ich nun weiter vor, oder hab ich mich irgendwo auf dem Weg verhauen ?
Mein Problem ist, dass ich da ein plus beta stehen habe, das ich nicht gebrauchen kann Augenzwinkern

12.07.2008, 14:40

steka

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...jemand ne Idee ?

12.07.2008, 23:06

therisen

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Also ich erhalte $\begin{eqnarray*} \Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x,t)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} (x,t)=f(x,t)\|x\|^4+4t^2 f(x,t)\|x\|^2+2nt f(x,t) \end{eqnarray*}$

Allerdings stört mich der $\begin{eqnarray*} \|x\|^4 \end{eqnarray*}$ Term, wenn ich das mit der rechten Seite vergleiche.

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