Dichtetransformation

01.07.2008, 20:55

aRo

Dichtetransformation

Hallo Leute!

Ich lerne gerade ein bisschen für die Stochastik Klausur und erhalte leider für eine Aufgabe zwei unterschiedliche Ergebnisse und weiß nicht recht warum.

Die Aufgabe:

Sei X eine N(0,1) verteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Dichte der Zufallsvariablen X².

1.Ansatz:
Satz der Dichtetransformation anwenden (ich hoffe ihr kennt den):

Da erhalte ich mit Y=g(X)=X²

$\begin{eqnarray*} f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}\sqrt{y}} \cdot e^{-\frac{y}{2}} \end{eqnarray*}$

2.Ansatz:

Ich bestimme die Verteilungsfunktion:
$\begin{eqnarray*} F_{X^2}(y)=P(X^2 \leq Y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2\pi} \cdot e^{- \frac{x^2}{2}} dx \end{eqnarray*}$

Rechne etwas rum und leite schließlilch ab:
$\begin{eqnarray*} f_{X^2}(y)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sqrt{y}} \cdot e^{-\frac{y}{2}} \end{eqnarray*}$

Und siehe da, eine 2 ist verschwunden....in welchem Teil steckt mein Fehler? Und auch schon einen Verdacht warum? (ich weiß, ich habe die Rechenschritte nicht gut aufgeschrieben...)

01.07.2008, 21:16

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Zitat:

Original von aRo
Satz der Dichtetransformation anwenden (ich hoffe ihr kennt den)

Steht in diesem Satz womöglich was von bijektiven (!) Transformationen?

$\begin{eqnarray*} T(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ betrachtet jedenfalls nicht bijektiv... Augenzwinkern

01.07.2008, 21:23

aRo

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ehrlich gesagt, nein..

ach...Moment....gut, da ich die Umkehrfunktion bilde wär es natürlich ganz praktisch, wenn die Funktion g bijektiv wäre...

D.h. ich kann den Satz nur für bijektive Funktionen g anwenden? Gibts auch keinen Trick drumrum Augenzwinkern

01.07.2008, 21:24

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Der "Trick" ist dein zweiter, richtiger Rechenweg. smile

Alternativ kannst du auch erstmal die Dichte von $\begin{eqnarray*} |X| \end{eqnarray*}$ bestimmen, was wegen der Symmetrie der Standardnormalverteilung nicht so kompliziert sein dürfte. Und dann kannst du für $\begin{eqnarray*} X^2=|X|^2 \end{eqnarray*}$ deinen Transformationssatz nutzen, denn auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ ja injektiv.

01.07.2008, 21:52

aRo

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ahja, das muss ich mal ausprobieren.

Aber erstmal habe ich ein Problem dabei E(X²) zu bestimmen.

Also ich will ja berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{+\infty} u \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi u}} \cdot e^{-\frac{u}{2}}du \end{eqnarray*}$

Da könnte ich dann Produktintegration machen und Eigenschaften der Dichtefunktion ausnutzen, wenn ich nicht das Problem mit den Grenzen hätte.

Ich nehme an, die untere Grenze muss 0 sein, aber warum? Denn wenn ich da -unendlich stehen lasse, kriege ich Schwierigkeiten...

01.07.2008, 21:58

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Also bei der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y=X^2 \end{eqnarray*}$ sollte es eigentlich nicht verwundern, dass diese nur nichtnegative Werte annehmen kann...

Was bedeutet: $\begin{eqnarray*} f_Y(y)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$

Im übrigen würde ich aber eher $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ direkt mit der Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

und zwar mit partieller Integration via $\begin{eqnarray*} x \cdot \left( xe^{-\frac{x^2}{2}} \right) \end{eqnarray*}$

01.07.2008, 22:01

aRo

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Ok, dann ist das klar Augenzwinkern

Bisschen mehr nachdenken hätte nicht geschadet...danke dir.

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