Frage zu Matrizen

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x^2y^2 Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Matrizen
Guten Morgen

Kann mir zufällig jemand bei folgender Aufgabe helfen bzw. einen Denkanstoss geben?

K ist ein beliebiger Körper und A ein Matrix aus M_n(K) (also quadratisch). Zeige: Für jedes A ist die transponierte Matrix (A)^t ähnlich zu A in M_n(K)


Wie kann ich da nun ansetzen? Das A und ihre Transponierte die selbe Determinante haben ist ja schonmal klar, aber das bringt mich nicht weiter, oder?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Zeige: Die Determinante ähnlicher Matrizen stimmen überein.

Tipp:

Und folgere daraus die Behauptung.

Gruß
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Föll
Zeige: Die Determinante ähnlicher Matrizen stimmen überein.


Das ist mit Kenntnis des Determinantenmultiplikationssatzes trivial. Die Umkehrung stimmt aber nicht, und deshalb ist dein Tipp hier unpassend. MMn ist das Problem nicht trivialer Art. Ich habe zumindest noch keine Idee, wie man das zeigen könnte.
x^2y^2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ist wirklich alles andere als trivial und läuft über die JNF. Habs mittlerweile hinbekommen (hoff ich zumindest mal), sind 2 Seiten Beweis...
off Auf diesen Beitrag antworten »

Sofern ihr als Körper die komplexen Zahlen betrachtet kannst Du dass über die Jordannnormalform beweisen. Und zwar zeigst Du das es invertierbare Matrizen M gibt mit

helfen dabei wird dir die Eigenschaft das



gilt. Dies funktioniert aber wirklich nur wenn Du komplexwertige Matrizen hast, und bereits weisst das es die Jordannormalform gibt. Für allgemeine Körper (insbesondere R) muss es keine Jordannormalform geben.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von off
Für allgemeine Körper (insbesondere R) muss es keine Jordannormalform geben.


Eben. Und deshalb ist die Aufgabe mithilfe der Jordannormalform nicht gelöst. Siehe auch http://www.onlinemathe.de/forum/Komplexe...-A-transponiert .
 
 
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frobenius-Normalform

http://de.wikipedia.org/wiki/Frobenius-Normalform

existiert immer, und der Satz über die Ähnlichkeit gilt da auch. Aber das wird wohl nochmal länger. Wirklich eine umständliche Aufgabe.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hab da was gefunden: http://projecteuclid.org/DPubS/Repositor....pjm/1103039127

Das lustige ist dabei, dass ich beim Nachdenken über diese Aufgabe die Aussage von Theorem 1 vermutet habe. Natürlich hab ich es nicht beweisen können. Augenzwinkern
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