Äquivalenzrelation

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dörry Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation
Hallo, ich hab ´ne Aufgabe auf mit der ich so gar nix anzufangen weiß. bzw. raff ich nicht was ich da zeigen muss.

Aufgabe:

Sei A die Menge der Paare . Für definieren wir, dass (m,n)~(p,q) gilt, wenn mq-np=0. Zeigen Sie, dass ~ eine Äuqivalenzrealation ist.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, dass ~

a) reflexiv ist, also ,
b) symmetrisch ist, also ,
c) transitiv ist, also .

Eigentlich musst du nur entsprechend umstellen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Nur um dir das ganze noch näher zu bringen.

Erst mal Geschwafel:
Wir bekommen hier eine Lokalisierung vom Ring Z nach dem Untermonoid Z\{0}.
Da Z nullteilerfrei ist (Gott sei dank!), wird die Bedingung an die "Gleichheit" zweier solcher Paare relativ anschaulich.

Sicher ist dir schon aufgefallen, dass A gerade Q in völliger Vollständigkeit ist. 1/2, 3/7, -15,8 ist alles drin, auch 2/4, moment, hatten wir das nicht schon?

es gilt 1/2~2/4 bzw. das stelle mal selbst fest, ganz Allgemein a/b~c/d, wenn das die gleichen Brüche (nach kürzen!) gibt.
A/~ könnte man damit als die Menge der gekürzten rationalen Brüche (!) auffassen, in der dann die Äquivalenzklasse [1/2] wirklich nur genau einmal vorkommt.

"A/~" stehe dabei für die Menge aller Äquivalenzklassen.
dörry Auf diesen Beitrag antworten »

also muss ~ reflexiv, symetrisch und transitiv sein damit´s ein Äquivalenzrelation ist. soweit verstanden.

jetzt muss ich also alles nachprüfen. mein problem ist, dass ich so´ne aufgabe noch nie gemacht hab und nicht weiß was ich machen muss. ist mit dem umstellen gemeint dass ich mq-np=0 umstellen muss? z.b mq=np.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

fang der Reihe nach an:

Reflexivität und Symmetrie stehen nach einsetzen eigentlich gleich da
kriegst du die eingesetzt hin?
dörry Auf diesen Beitrag antworten »

soll ich einfach hinschreiben (m,n)~(m,n) ?
 
 
dörry Auf diesen Beitrag antworten »

und (m,n)~(p,q) => (p,q)~(m,n)
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

> soll ich einfach hinschreiben
NEE. Du sollst nicht einfach hinschreiben!
DENKEN!

Du sollst die definierende Eigenschaft dieser Relation benutzen, um die ÄR zu beweisen (das sind 3 Eigenschaften). - Klares "Huhn-Ei"-Problem. Erst war die Definition, dann die Relation (durch genannte Eigenschaften). - Wenn Dir jemand "Auto" sagt, denkst Du an "brumm brumm mit 4 Rädern". - Nur D I E S hat Dir vorher einer erklärt...

---> Dann ist die Relation eine ÄR. ---> Dann hat sie Eigenschaften wie Disjunktheit der ÄK etc. ---> Dann gibt es Interpretationen a la LOED wie Kürzungen in und Gleichheit (in ) unter der Eigenschaft "Brüche sind gleich, falls nach Hauptnenner-Bilden der Zähler gleich ist" u.s.w. ... - Erst dann hätte "Auto" Eigenschaften, wie "fährt mit mir ins Kino"...

*Wiki* steht momentan (09-04-2006: 23:09) nicht zur Verfügung...

Hoffe, wird klar? Wink
Sonst sehe ich keine Hoffnung.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dörry
und (m,n)~(p,q) => hier (p,q)~(m,n)


Um es nochmal klarer zu sagen:
An diese Stelle gehören noch ein paar Zwischenschritte und am Ende soll dann (p,q)~(m,n) da stehen.
Der erste dieser Zwischenschritte ist, die Definition, die du für ~ in der Aufgabe gegeben hast, zu benutzen.

Gruß vom Ben
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dörry
soll ich einfach hinschreiben (m,n)~(m,n) ?


Nein, denn das ist zu zeigen!!!!!!!!!!!!!

Ok, wenn man damit nichts anzufangen weiß, dann schaut man sich erst mal die Definiton an, was steht denn da?

(m,n)~(p,q) , wenn mq-np=0.



Um zu zeigen dass die Relation eine Äquivalenzrelaton ist, ist die Reflexivität, die Symetrie und die Transitivität zu zeigen. (steht weiter oben im Thread)

Bsp zu reflexiv: zu zeigen ist,
Laut Aufgabe steht (a,b) in Relation zu (a,b), wenn a*b - b*a = 0 ist.
Wenn dies stimmt, dann ist die Relation reflexiv... ist sie reflexiv verwirrt

Danach musste noch die Symetrie und die Transitivität zeigen. Ist aber genau so einfach. Wenn du aber Problem hast, dann "her damit" Big Laugh



EDIT: statt (a,b) kannste auch (m,n) schreiben. Aber für die Reflexivität, brauchste 2 gleiche Paare
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

Komm. Ich rechne mal einen vor...
.
.
.
Erstmal fangen wir an mit sorgfältig aufschreiben...


(bis auf daß die vermeintlichen Nenner sein dürfen, steht OBEN)

LINKS vom ":" steht die definierende Eigenschaft und RECHTS, was diese definiert. - Man muß wirklich nicht wissen, daß wenn statt ,Komma' ein ,Bruchstrich' da steht, daß diese (m,n) eigentlich bzw. (p,q) eigentlich sein könnten, wäre aber hilfreich (dieser Blick). - Ganz hilfreich wäre Bildung des Hauptnenners nq, sodaß man die (neuen + erweiterten) Zähler und wg. vergleichen könnte. - Verstehste? Einfach mal so runterschreiben und anschliessend aufs Papier schauen.
.
.
.
soll ÄR sein?

Reflexivität
Dann muß für alle erlaubten Paare gelten: ...
Da setzen wir mal (haarscharf) ein (x= m=p und y= n=q) : , ... jau, iss = 0 und damit die "Reflexitivät" erfüllt.

Symmetrie
Nu müssen wir auf der rechten Seite "drehen"...
D.h. zu zeigen: .
*hmm* Links steht: und rechts steht ... - Und falls das noch =0 wäre, sind wir gut dran.

Transitivität
usw.

Wink -Ace- (so läuft das mit den ÄR)
Scheint so, daß mich Daktari überholt hat...
_______________________

*klopf klopf* Ist einer zuhause? Ich möchte wetten, dörry ist nach Diktat verreist?!

Braucht dörry eine Einsteiger-Übung? - Man definiere auf die Relation . - UND beweise, daß ~ eine ÄR ist. - Gibt es Interpretationen, zB. hinsichtlich ÄK?
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

@Daktari
> Bsp zu reflexiv
Fehler.

Reflexiv gilt für alle und nicht per WENN-DANN (Du verstehst: Fatal, wenn keiner).

Teufel
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

Kannste mir meinen Fehler "genauer" erläutern? Ich versteh net so ganz was du meinst.

Ich versteh nicht was an meiner Auffassung falsch sein soll. Hilfe
Reflexiv ist es wenn (a,b) in Relation zu (a,b) steht.
Die Relation steht in der Aufgabe... also "ab geh'ts" würde ich sagen, aber du bist ja anderer Ansicht.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Ace Piet meint nur, dich wegen des Wortes "Beispiel" ermahnen zu müssen, und verkennt dabei, welchen Bezug es im Kontext deines Postings hat. Aber "Replikation" ist ja auch das gleiche wie "Replik".
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht "anderer Ansicht", sondern sicher.

Während (S)+(T) WENN-DANN-Beziehungen sind, ist (R) von der absoluten Sorte: FÜR ALLE x gilt: x ~ x (ohne wenn und aber).

Das meinte ich mit "wenn keiner da ist"...

Ansonsten warten wir auf Bestätigung höherer Instanzen.

HTH -Ace-
_________________

Edit: SQRT hat den Fehler ebenfalls nicht erkannt.

Den Fall Replik vs. Replikation diskutiere ich nicht mit Menschen, denen Active Directory etc. nicht geläufig ist. - Nur so.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ace Piet
Edit: SQRT hat den Fehler ebenfalls nicht erkannt.

Du hast mein Posting nicht verstanden. Daktari behauptet nirgendwo etwas von einer Wenn-Dann-Beziehung.
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

> Reflexiv ist es wenn (a,b) in Relation zu (a,b) steht.
NEIN.

Für alle (a,b) ist (a,b) ~ (a,b).
Blind?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

  • Um 0:48 postet Daktari einen um 0:50 edierten Beitrag.
  • Um 1:23 wirft Ace Piet Daktari einen Fehler vor, den letzterer nicht begangen hat.
  • Um 1:39 und 1:51 wird Ace Piet darauf hingewiesen.
  • Um 1:56 postet Ace Piet einen Beitrag mit dem Inhalt

    Zitat:
    Original von Ace Piet
    No Comments zu Nach-Edits...

  • Um 1:58 ediert Ace Piet ebendiesen Beitrag und zitiert als Beweis für den vorgeworfenen Fehler ein Posting von Daktari von 1:35.

Übrigens, nichtformale Sprachen haben meist keine eindeutige Semantik. Du bist auch bestimmt nicht derjenige, der diese Semantik festlegt. Das gilt auch für die Bedeutung des Wortes "Replikation" und für den Grad der Entsprechung des umgangssprachlichen mit dem aussagelogischen "wenn".
dörry Auf diesen Beitrag antworten »

an dieser stellen ersteinmal DANKE!!! für die antworten und für die jenigen die sich mit mir dummi beschäftigt haben. vielleicht noch ein paar worte zu hintergrung:

unser lehrer keller aufgeräumt, dabei alte uni-sachen gefunden. dabei auch ERSTE aufgabe die er abgeben hatte. wollte mal sehen ob wir die "lösen" können...... naja. bla bla bla

ich schau mir dann nachher nochmal eure antworten an und mit viel denken und ignorieren des leicht passiv-agressiven untertones klappt es ja dann bestimmt.

so jetzt muss ich in den großen stahlkasten steigen. der mit mehr als 4 rädern und ganz viel laut brumm brumm. und mit der zauberfee die automatisch die türen aufmacht Big Laugh
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
  • Um 0:48 postet Daktari einen um 0:50 edierten Beitrag.
  • Um 1:23 wirft Ace Piet Daktari einen Fehler vor, den letzterer nicht begangen hat.
  • Um 1:39 und 1:51 wird Ace Piet darauf hingewiesen.
  • Um 1:56 postet Ace Piet einen Beitrag mit dem Inhalt

    Zitat:
    Original von Ace Piet
    No Comments zu Nach-Edits...

  • Um 1:58 ediert Ace Piet ebendiesen Beitrag und zitiert als Beweis für den vorgeworfenen Fehler ein Posting von Daktari von 1:35.



Mit ein bisschen guten Willen für Ace kann man das "Wenn-Dann" auch im Post von 0:48 finden.

Zur Klärung: Ace will auf die Aussagenlogik heraus. kann erfüllt sein, wenn A nicht wahr ist. Das wäre in diesem Fall, wenn es gar keine a und b mit a*b-b*a=0 gibt. Trotzdem könnte dann die ÄR reflexiv sein (Aussage B). Die Implikation macht ja keine Aussage über den Fall "A falsch".

@dörry: Dass dich DAS nicht unbedingt interessieren muss, hast du schon erkannt, denke ich Augenzwinkern

Gruß vom Ben
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Mit ein bisschen guten Willen für Ace kann man das "Wenn-Dann" auch im Post von 0:48 finden.

Dazu muss man mehr oder weniger absichtlich Sprache verdrehen bzw. einseitig interpretieren. Und das macht Ace ja gerne, das ist mein Punkt.
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