Abstrakte Aufgabe zu Integralen

02.07.2008, 11:04

Starbuck

Abstrakte Aufgabe zu Integralen

Hallo, diese Aufgabe bereitet mir gerade Kopfschmerzen. Ich verstehe eigentlich gar nicht, was damit praktisch gemeint ist:

"Zeigen Sie, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ möglich ist, stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} a,b: [0,1] \to [0,1] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a(0)=b(0)=0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int\limits_{-1}^{-a(\epsilon)} \frac{dx}{x} + \int\limits_{b(\epsilon)}^{1} \frac{dx}{x} \right) = c \end{eqnarray*}$

zu finden."

Könnt ihr mir einfach nur in einfacheren Worten erklären, was das genau bedeutet, damit ich anfangen kann, daran zu arbeiten?

02.07.2008, 11:15

tmo

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Vielleicht solltest den Ausdruck im Limes mal etwas vereinfachen.

Dann wirst du nämlich sehen, dass diese Aussage äquivalent dazu ist, dass es zu jeder positiven reellen Zahl d solche Funktionen mit $\begin{eqnarray*} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{a(\varepsilon)}{b(\varepsilon)} = d \end{eqnarray*}$ gibt.

Und das ist fast trivial. Solche Funktionen kannst du direkt angeben.

02.07.2008, 11:18

Straffi

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nun hast du c aus R, c ist eine Art Grenzwert und zwar der den du da stehen hast.

Epsilon geht ja gegen null ... wenn Epsilon einfach mal gleich null ist, dann kannst du wegen a(0)=b(0)=0 die Integrale im Limes zusammenfassen (Additivität), dann wäre c einfach das Integral über x^(-1) dx von -1 bis 1. Jetzt sei aber c irgendeine Zahl aus R, also egal welche und du sollst zeigen, dass du immer wieder Funktionen findest mit gegebenen Bedingungen sodass diese Gleichung mit dem Limes stimmt. Ist das ok? ^^

edit: oder so ^^

02.07.2008, 11:23

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Als uneigentliche Integrale betrachtet ist

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^0 ~ \frac{\dd x}{x} = -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 ~ \frac{\dd x}{x} = \infty \end{eqnarray*}$ .

Wenn du dich von beiden Seiten "gleichmäßig" annäherst, also etwa mit $\begin{eqnarray*} a(\varepsilon) = b(\varepsilon) = \varepsilon \end{eqnarray*}$ , dann erhältst du

$\begin{eqnarray*} \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int\limits_{-1}^{-\varepsilon} ~ \frac{\dd x}{x} ~ + ~ \int\limits_{\varepsilon}^1 ~ \frac{\dd x}{x} \right) = 0 \end{eqnarray*}$ ,

siehe Cauchyscher Hauptwert.

Deine Aufgabe ist es nun, auch für andere Werte als $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ solche Funktionen $\begin{eqnarray*} a(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ zu basteln. Du könntest z.B. so vorgehen, die eine Funktion vorab festzulegen, also z.B. $\begin{eqnarray*} a(\varepsilon)=\varepsilon \end{eqnarray*}$ , und dann $\begin{eqnarray*} b(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gemäß der Bedingung

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^{-\varepsilon} ~ \frac{\dd x}{x} ~ + ~ \int\limits_{b(\varepsilon)}^1 ~ \frac{\dd x}{x} = c \end{eqnarray*}$

zu berechnen.

EDIT: ... etwas langsam von mir. Aber vielleicht doch nicht ganz unnütz, der längeren Erklärung wegen. Augenzwinkern

02.07.2008, 11:32

tmo

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Zitat:

Original von Straffi
wenn Epsilon einfach mal gleich null ist, dann kannst du wegen a(0)=b(0)=0 die Integrale im Limes zusammenfassen (Additivität), dann wäre c einfach das Integral über x^(-1) dx von -1 bis 1.

Die Intervalladditivität gilt aber nur, wenn die Funktion in diesem Intervall auch definiert ist. Das ist hier nicht der Fall. Weiterhin wird erst das Integral ausgewertet und dann $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ nach 0 geschickt. Eine Vertauschung dieser Reihenfolge ist mMn nicht gerechtfertigt.

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