Konvergenzradius z^n!?

02.07.2008, 16:01

Faris

Konvergenzradius z^n!?

Hiho,

hab folgendes Problem:

Konvergenzradius für

http://img157.imageshack.us/img157/8462/konvrec9.jpg

Wie kann ich das z^n! umformen in die normale Potenzreihenform?

Gruß und Dank

02.07.2008, 16:08

tmo

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Beachte mal $\begin{eqnarray*} |z^{n!}| = |(z^{(n-1)!})|^n < \left( \frac{1}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ für hinreichend große n und $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$

02.07.2008, 16:21

Tomtomtomtom

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Ich fürchte, dieser Tipp wird nicht weiterhelfen.

02.07.2008, 16:35

Faris

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Ich hab folgendes gemacht, könnt ihr mal drüber schauen ob das okay ist?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^inf 2^n*z^{(n!)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^inf 2^n*z^{((n-1)!)^n} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to inf} {abs((2^n)/(2^n+1) } =1/2 = z^{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

=> r= 1

Ist das so machbar?

02.07.2008, 16:36

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Ich würde hier einfach Cauchy-Hadamard empfehlen, angewandt auf die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} a_k z^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k = \begin{cases} 2^n & \;\mbox{falls ein $n$ mit $k=n!$ existiert}\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

02.07.2008, 16:36

Faris

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Sorry, der hat das inf über den Summen komisch dargestellt, hab ich wohl nen Fehler bei der Syntax gemacht, einfach ignorieren!

02.07.2008, 16:39

Tomtomtomtom

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Zitat:

Original von Faris
Ich hab folgendes gemacht, könnt ihr mal drüber schauen ob das okay ist?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} 2^n*z^{(n!)} = \sum_{k=1}^{\infty} 2^n*z^{((n-1)!)^n} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {|(2^n)/(2^n+1)| } =1/2 = z^{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

=> r= 1

Ist das so machbar?

Hab mal die Formeln in deinen Beitrag editiert.

02.07.2008, 16:40

Faris

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Yo danke, habe mich erst gerade registriert, daher kann ich die nicht ändern!

02.07.2008, 19:35

tmo

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich würde hier einfach Cauchy-Hadamard empfehlen, angewandt auf die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} a_k z^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k = \begin{cases} 2^n & \;\mbox{falls ein $n$ mit $k=n!$ existiert}\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n!]{2^n} = 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_k} = 1 \end{eqnarray*}$ , woraus $\begin{eqnarray*} r = 1 \end{eqnarray*}$ folgt.

Mit meiner Abschätzung (vielleicht um sicher zu gehen sogar noch gegen 1/4 statt 1/2) kommt man doch auch darauf, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Inwiefern hilft der Tipp dann nicht weiter? Weil es explizit verlangt war eine Potenzreihe daraus zu machen um überhaupt den Begriff Konvergenzradius benutzen zu können? D.h. bei der Aufgabenstellung "Für welche z konvergiert die Reihe" würde er weiterhelfen? verwirrt

edit: k-te Wurzel eingefügt...

02.07.2008, 19:44

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Zitat:

Original von tmo
Mit meiner Abschätzung (vielleicht um sicher zu gehen sogar noch gegen 1/4 statt 1/2) kommt man doch auch darauf, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Inwiefern hilft der Tipp dann nicht weiter?

Die Frage geht wohl an Tomtomtomtom, denn ich habe nichts gegen diesen Weg einzuwenden, sofern er noch durch Betrachtungen im Fall $\begin{eqnarray*} |z|\geq 1 \end{eqnarray*}$ (oder zumindest $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ ) ergänzt wird. Augenzwinkern

Ich habe nur auf den Cauchy-Hadamard-Weg hingewiesen, weil der etwas schnörkelloser direkt auf übliche Methoden der Potenzradiusermittlung zurückgreift.

02.07.2008, 19:50

Tomtomtomtom

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Also, wenn ich deinen Tipp einsetze, komme ich auf unendlich viele Summanden, von denen jeder 1 ist. Auch die Verwendung von 1/4 statt 1/2 ändert an diesem Problem nichts. Oder hab ich da einen Denkfehler drin?

02.07.2008, 19:53

tmo

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wegen $\begin{eqnarray*} |z^{n!}| < \left( \frac{1}{4} \right)^n \end{eqnarray*}$ folgt doch $\begin{eqnarray*} |2^n \cdot z^{n!}| < \left( \frac{1}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ . Nach dem Minorantenkriterium konvergiert die Reihe also für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ .

So hatte ich mir das gedacht.

02.07.2008, 19:58

Tomtomtomtom

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OK, mit dem 1/4 gehts dann Big Laugh

02.07.2008, 20:39

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Und ich hatte wegen

Zitat:

Original von tmo
Beachte mal $\begin{eqnarray*} |z^{n!}| = |(z^{(n-1)!})|^n < \left( \frac{1}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ für hinreichend große n und $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$

gedacht, du argumentierst so:

Zu festem $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z^{(n_0-1)!}| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ folgt dann natürlich auch $\begin{eqnarray*} |z^{(n-1)!}| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} |z^{n!}| < \left( \frac{1}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ .

02.07.2008, 23:02

Faris

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Hiho, ich wollte noch wissen, ob in dem Weg den ich weiter oben gemacht hab ein Gedanklicher Fehler
ist, oder ob ich den so einfach stehen lassen kann.

02.07.2008, 23:08

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Welchen Weg? Das hier?

Zitat:

Original von Faris
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{inf} 2^n*z^{(n!)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{inf} 2^n*z^{((n-1)!)^n} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to inf} {abs((2^n)/(2^n+1) } =1/2 = z^{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

=> r= 1

Wenn du mal die Logik hinter dieser Aneinanderreihung von Termen näher erläutern könntest? Ich verstehe in keinster Weise, wie du daraus auf r=1 schließt. unglücklich

02.07.2008, 23:41

Faris

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Welchen Weg? Das hier?

Zitat:

Wenn du mal die Logik hinter dieser Aneinanderreihung von Termen näher erläutern könntest? Ich verstehe in keinster Weise, wie du daraus auf r=1 schließt. unglücklich

OKay, wenn ich so drüber gucke ist das schon relativ bescheuert geschrieben.

Also ich hab quasi das n als Exponenten raus gezogen und damit eine PotenzreihenForm geschaffen, muss nur am Ende noch das $\begin{eqnarray*} z^{(x-1)!} \end{eqnarray*}$ zurück substituieren.

Dann hab ich den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to inf}{|a_n/a_{(n+1)}|} \end{eqnarray*}$ gebildet. Da kommt dann 1/2 raus.
Wenn ich dann zurück substituiere, steht da noch $\begin{eqnarray*} 1/2 = |z^{(n-1)!}| \end{eqnarray*}$
Das gilt wenn |z|<1 für grosse n?

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