Eigenschaften DGL interpretieren.

03.07.2008, 06:18

SvenYknow

Eigenschaften DGL interpretieren.

Hab hier diese DGL gegeben:

$\begin{eqnarray*} y'(x) + 2y(x) = 6 \end{eqnarray*}$

Ich soll jetzt diese DGL interpretieren, kann mir jemand sagen ob das hier stimmt:
* Erster Ordnung, weil die höchste Ableitung y' ist .
* explizit/implizit bin ich nicht sicher, tendiere zu explizit, weil ich 2 terme mit y(x) hab...?
* ist linear glaub ich......warum weis ich nicht...bauchgefühl, woran erkennt man das?
* DGL ist inhomogen, Störglied = 6

stimmt das soweit?

03.07.2008, 07:22

Dual Space

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RE: Eigenschaften DGL interpretieren.
Alles richtig. Linear ist die Gleichung weil nur lineare Operationen vorkommen (Addition, Skalar-Multiplikation).

Aber warum postest du sowas in der Algebra? verwirrt

*verschoben*

03.07.2008, 07:51

SvenYknow

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RE: Eigenschaften DGL interpretieren.
Wenn ich jetzt den homogenen Teil meines DGL ermitteln will (um später die allgemeine lösung zu ermitteln) geh ich so vor:

$\begin{eqnarray*} y'(x) * 2y(x) = 6 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \lambda e^{\lambda x} + 2 e^{\lambda x} = 0 \end{eqnarray*}$ | : e^

<=> $\begin{eqnarray*} \lambda + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} \lambda = -2 \end{eqnarray*}$

Also mein homogenerteil meiner Lösung lautet damit: $\begin{eqnarray*} Y_0 = C_1 * e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Jetzt gehts ans Störglied....welchen Ansatz nehm ich da? Und wieso? verwirrt

03.07.2008, 14:04

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom aus Thread DGL richtig?

Hier drin steht, wie man zu deiner neuen Störfunktion auch noch einen Ansatz finden kann:

http://www.mathematik.uni-dortmund.de/ls...s07/Tabelle.pdf

03.07.2008, 17:07

SvenYknow

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hm.....fällt mir etwas schwer da die richtige rauszulesen. ich denkemal die polynomvariante wäre hier am ehsten richtig, da ich weder exponential noch winkel-funktion als störglied besitze...

ist es falsch mit ax+b zu arbeiten? mein störglied besteht ja eig. nur aus "b" oder kann ich einfach "b" nehmen? die ableitungen davon wären dann ja null?

03.07.2008, 17:20

Tomtomtomtom

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Du kannst einfach "b" als Ansatz nehmen, daß heißt du suchst eine konstante Funktion als partikuläre Lösung. Aber selbst wenn du den Grad des Polynoms zu hoch ansetzt, macht das überhaupt nichts, dann bekommst du für die Koeffizienten der höchstens Potenzen von x eh 0 raus.

Darüber hinaus kannst du zumindest bei dieser Aufgabe eine Lösung der inhomogenen Gleichung mittels Trennung der Variablen gewinnen.

04.07.2008, 18:54

SvenYknow

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okay,

nehm ich mal als mein Ansatz "b"

$\begin{eqnarray*} y_p(x) = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 * 2*b = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*b = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*b = 6 \end{eqnarray*}$ | :2

$\begin{eqnarray*} b = 3 \end{eqnarray*}$

d.h. meine inhomo. Lösung wäre dann

$\begin{eqnarray*} y = C_1 \cdot e^{-2x} + 3 \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt, fühlt sich "falsch" an verwirrt

04.07.2008, 18:58

Dual Space

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Mach doch die Probe und setze deine Lösung in die DGL ein.

04.07.2008, 18:59

SvenYknow

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hm....sorry, wie meinst du das? was soll ich wo einsetzen?

04.07.2008, 19:02

Dual Space

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Na was hast du denn die ganze Zeit berechnet? Eine Lösung der DGL y'+2y=6. Also überprüfe, ob deine Lösung der DGL genügt.

04.07.2008, 20:02

SvenYknow

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ja, die gleichung erfüllt sich......

als nächste fragen stehen auf meinen blatt:

* Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
Wieviel freie Parameter hat sie? Skizzieren Sie eine typische Lösung qualitativ

die allgemeine lösung des homo DGL hab ich ja. Ist mit "freier Parameter" jetzt C_1 oder x gemeint oder beides? ich tendiere zu C_1 oder?

Was darf ich mir den unter skizze einer typischer Lösung vorstellen?

05.07.2008, 11:59

SvenYknow

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kann mir niemand was zu der skizze sagen die da gefordert ist, was ich mir darunter vorstellen soll?

05.07.2008, 12:05

Tomtomtomtom

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Ja, der freie Parameter ist C_1, denn dieses kannst du frei wählen, und zu jedem gewählten C_1 gehört eine Lösungskurve.

Du sollst dir nun eine solche Lösung nehmen, und diese skizzieren. Skizzieren heißt, es kommt nicht auf jeden Punkt an, aber die wesentlcihen Eigenschaften sollten schon ungefähr stimmen.

Wenn da dastehen würde "Skizzieren sie die Funktion f(x)=x^2" würdest du ja auch nicht 500 Punkte ausrechnen, sondern einfach irgendwas zeichnen, was durch den Nullpunkt geht, nach oben offen ist, und annähernd Ähnlichkeit mit einer Parabel hat.

06.07.2008, 11:38

svenYknow

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Ich hab jetzt meine inhomogene allgemeine Lösung ermittelt:

$\begin{eqnarray*} y = C_1 \cdot e^{-2x} + 3 \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich für die Anfangsbedingung y(1)=9 die DGL berechnen.

$\begin{eqnarray*} 9 = C_1\cdot e^{-2*9} +3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6 = C_1\cdot e^{-2*9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6 = C_1\cdot e^{-18} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{e^{-18}} = C_1\ \end{eqnarray*}$

damit hab ich jetzt eine konkrete Lösung der DGL bestimmt, da ich den freien Parameter C_1 ermittelt hab. so korrekt?

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