Doppelverhältnis

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system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelverhältnis
Hi Zusammen,

hier ist eine kleine Aufgabe welche ich versuche nachzuvollziehen:

In der komplexen Ebene nehmen wir die obere Halbebene. Diese ist bekanntlich ein Modell der hyperbolischen Ebene. Nun werden zwei Halbkreise darin betrachtet, die senkrecht auf der reellen Achse stehen und damit auch vier reelle Zahlen a, b, c, d definieren. Man soll nun einen Zusammenhang zwischen dem Schnittwinkel der Kreise (sofern sie sich schneiden) und dem Doppelverhältnis der vier reellen Zahlen finden.

[siehe Bild im Anhang]


Zunächst weiss man aus der komplexen Analysis, dass man immer eine gebrochenrationale Abbildung finden kann so, dass





Damit hat man die gegebenen hyp Geraden (die zwei Halbkreise) mit einer hyp. Bewegung nur verschoben, soll heissen das Doppelverhältnis DV bleibt gleich.
Nun aus dem zweiten Bildteil hab ich den Zusammenhang


Nun die Berechnung des DV, das was mir eigentlich das Kopfzerbrechen macht:
Sicher ist und dann soll sein, aber wie genau?
Könnte man vielleicht so rechnen:


Aber solche Rechnungen mit "" sind mir bischen suspekt...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eine hübsche Aufgabe.

Berufe dich einfach auf die Definition des Doppelverhältnisses:

mit

Hier konkret



Wenn dich das nicht befriedigt, kannst du auch in

mit

den Grenzübergang durchführen. Wie im Reellen: Im zweiten Bruch durch kürzen.
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
mit


Wir hatten das DV garnicht so definiert, sondern als

Zitat:
Original von Leopold
mit


mit .

Hier wird lustigerweise auch gesagt, dass sich, falls eine der Zahlen sein sollte, gekürzt wird....Lustig...

Danke Jedenfalls smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So würde ich das nicht verstehen. Hier wird nicht eine Kürzungsregel verwendet, sondern eine Definition durch Fallunterscheidung gegeben:



Ist eine der Größen gleich , entfallen die beiden Terme auf der rechten Seite, die enthalten.

Die Definition ist allerdings insofern unbefriedigend, da es wohl besser wäre, wenn man von vorneherein als verschieden festlegen würde. So wird überhaupt nicht klar, was für ist. Und was ist, wenn z.B. alle vier Variablen sind?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Definition ist nicht so gut. Aber man kanns ja immernoch mit dem Grenzverhalten machen wie du vorgeschlagen hast, find ich den besten Weg.
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