Vektorraum- wie ging das?

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elchblut Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum- wie ging das?
hallo , Hilfe

ich rechne grade ein paar Altklausuren.
Dabei ist mir aufgefallen, dass ich nicht mehr genau weiss woran man erkennt kann,ob die Lösungesmenge ein Vektorraum ist?

In der aufgabe ist eine Matrix A auf dem R^3 gegeben und zwei Vektoren. Gefragt ist, ob die Lösungsmenge (L~b) ein Vektorraum ist? Mir ist klar, dass ich die Lösungsmenge berechnen muss. Dies kann ich auch. Woran erkenne ich, ob sie ein Vektorraum ist?

Ich hoffe jemand ist so lieb und bringt mein gedächnis wieder auf die Sprünge

danke
Elchblut
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösungsmenge L ist ein Vektorraum, genau dann wenn


Sind und sei

es muss gelten:
L ist bzgl + eine abelsche Gruppe
1.) (Kommutativität der Addition)
2.) (Assoziatitität der Addition
3.) (Es existiert en neutrales Element - der Nullvektor - )
4.) (Es existiert ein inverses Element b der Addition, genannt "-u"; also u+(-u)=0)



Es gibt eine Skalarmultiplikation von
5.) (Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation)
6.)
7.)
8.)

Verstehste das ?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Geht auch noch ein bisschen einfacher - Stichwort "Unterraumkriterium"!
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich mir auch zuerst überlegt, aber in der AUfgbe steht doch Vektoraum.


Ach, oder meinste so einen Satz: Ein Unterraum ist mit der definierten Addition und der definierten Skalarmultiplikation selbst ein Vektorraum?

Untervektorraumkriterien:

Seien u,v aus L und t aus IR

1.)Der 0-Vektor muss in L drin sein
2.)sind u,v aus L --> u+v ist aus L
3.)t*u ist aus L
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

UNTER-Vektorraum (von V) heißt, daß die Teilmenge mit den geltenden Gesetzen ein Vektorraum ist.

Gesetze aus dem großen V bleiben auf Einschränkungen (im kleinen L) gültig, da muß man nix mehr machen. - Man muß nur notwendige Abgeschlossenheiten nachweisen (bleibt in L)... (hast Du oben richtig zitiert).

Wink -Ace- (wird klar?)
elchblut Auf diesen Beitrag antworten »
waaas?
ich bin total verwirrt...
am besten i geb euch mal die aufgabe

Gegeben sei eine lineare Abbildung A auf dem R3 dargestellt durch die Matrix
A:=

und die Vektoren b und c:

~b :=


~c :=
.
(iii) Ist ein Vektorraum?
 
 
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, mit diesen Angaben wird die Aufgabe ganz schnell recht einfach. Da ein Vektorraum abgeschlossen sein muss und die Multiplikation mit einem Skalar existiert, muss der Vektorraum den Nullvektor enthalten, denn ist in der Grundmenge, dann muss auch enthalten sein.
elchblut Auf diesen Beitrag antworten »

wenn i die ganze sache ausrechne

dann erhalte ich
= { + t ; t }

und laut lösung ist es kein vektorraum..

ich komm nicht drauf.. vielleicht liegt es an der uhrzeit oder ich bin sehr blind traurig
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sagte doch schon: Der Nullvektor muss enthalten sein. Ist er das?

(Das kannst du übrigens überprüfen, ohne dass du die Lösungsmenge bestimmst, indem du einfach überprüfst, ob eine wahre Aussage ist, was offensichtlich nur für gilt.)
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von elchblut
wenn i die ganze sache ausrechne

dann erhalte ich
= { + t ; t }

und laut lösung ist es kein vektorraum..

ich komm nicht drauf.. vielleicht liegt es an der uhrzeit oder ich bin sehr blind traurig



vll ist es so einfacher:
es muss gelten:

1/2 + 0 = 0
1/2 + t = 1
0 + t = 0

wobei das t immer das selbe t ist.
gibt es so ein t, so dass die Gleichungen gelten?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wurde doch eigentlich schon klipp und klar gesagt:

Lösungen eines LGS bilden IMMER ein affiner Raum, das heißt ein verschobener Unterraum; z.B. ist ein zwedimensionaler Lösungsraum eine Ebene

Ein affiner Raum ist genau dann ein Vektorraum, wenn er NICHT verschoben wurde, d.h. durch den Urpsrung geht.


Klipp und klar noch mal Benedikts Aussage:
der Lösungsraum zu Ax=b ist genau dann und nur dann ein Vektorraum, wenn b=0.
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