ZGWS & Gesetz der GZ [war: Verständnisfragen]

10.04.2006, 01:31

Bjoern1982

ZGWS & Gesetz der GZ [war: Verständnisfragen]

Guten Abend !

Ich habe am Dienstag eine mündliche Prüfung in Stochastik und bin noch in den folgenden 3 Themenengebieten unsicher und würd mich freuen, wenn mir jemand meine Gedanken dazu kritisieren bzw ergänzen würde.

Zentraler Grenzwertsatz

Wird ein Zufallsexperiment n-mal ausgeführt, so entspricht die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X=X1+X2+...+Xn (jeweils u.i.v.) für hinreichend große n annähernd der Normalverteilung.

D.h. je größer das n wird (also wenn es gegen unendlich strebt) umso mehr wird der Graph der Verteilung zu einer der Normalverteilung entsprechenden "Glockenkurve".

Einen Spezialfall stellt die Näherungsformel von De Moivre-Laplace dar, welche von einer binomialverteilten Zufallsvariablen ausgeht, für welche ja jeder Wert dieser Zufallsvariablen dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit p hat. Deshalb kann man bei n Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments jede einzelne Komponente der EINEN Zufallsvariablen X als u.i.v. ansehen und wiederum durch Normalverteilung annähern.
Darum gilt hier auch n=1 für die Näherungsformel:

$\begin{eqnarray*} P(a<\sum_{i=1}^n~X_i\leq b) = \phi(\frac{b-n\mu}{\sqrt{n\sigma}})- \phi(\frac{a-n\mu}{\sqrt{n\sigma}}) \end{eqnarray*}$

Gesetz der großen Zahlen

Durch dieses Gesetz wird der Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und tatsächlicher (theoretischer) Wahrscheinlichkeit aufgegriffen. Mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung wird erstmal folgende Abschätzung (1) hergeleitet, die besagt, dass für große n (also wenn n gegen unendlich strebt), die Wahrscheinlichkeit, dass der Unterschied (Differenz) von relativer Häufigkeit und tatsächlicher Wahrscheinlichkeit kleiner als eine bestimmte Zahl c ist, gegen 1 strebt.

(1) $\begin{eqnarray*} P(|Z-p|<c)\geq 1-\frac{1}{4nc^2} \end{eqnarray*}$

Z=(1/n)*X -->Stichprobenmittel

Das heisst also, dass die relative Häufigkeit sich immer mehr der theoretischen Wahrscheinlichkeit annähert, je öfter das Zufallsexperiment durchgeführt wird.

Tschebyscheffsche Ungleichung

Mit dieser Ungleichung kann man abschätzen, wie wahrscheinlich es (höchstens) ist, dass bei bekannter Varianz und bekanntem Erwartungswert ein Ereignis auftritt, das wenigstens um einen bestimmten Wert c vom Erwartungswert abweicht.

Andersrum kann man so auch für bestimmte (offene) Intervalle um den Erwartungswert festlegen, wie wahrscheinlich es ist, dass die Zufallsvariable einen Wert annimt, der in diesem Intervall liegt (z.B. Sigma-Intervalle)

Gruß Björn

10.04.2006, 09:19

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Ein paar Anmerkungen:

1.) LaTeX:

$\begin{eqnarray*} P\left( a<\sum_{i=1}^n~X_i\leq b \right) = \Phi\left( \frac{b-nE}{\sqrt{nV}} \right) - \Phi\left( \frac{a-nE}{\sqrt{nV}} \right) \end{eqnarray*}$

Eine Übersicht über die griechischen Buchstaben in LaTeX findest du hier. Außerdem ist * für Multiplikation in LaTeX nicht so üblich. Wenn's zur Verdeutlichung sein muss, dann nimm lieber \cdot .

2.) inhaltlich:

zum ZGWS:
Statt "annähernd der Normalverteilung" ist "annähernd einer Normalverteilung" eher angebracht. Alternativ kannst du natürlich statt der Summe $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ auch gleich deren Standardisierung $\begin{eqnarray*} \frac{S_n-nE}{\sqrt{nV}} \end{eqnarray*}$ betrachten und dann von "annähernd der Standardnormalverteilung" reden. Und bitte deutlich machen, dass E und V die Kenngrößen einer Summandenzufallsgröße sind, d.h. nicht die der binomialverteilten Summe.

zum Gesetz der großen Zahlen:
Du solltest dazusagen, was das $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ in deiner Tschebyschow-Ungleichung eigentlich darstellt (Stichprobenmittel ist da ein bisschen wenig - wovon?): Nämlich den Mittelwert von n unabhängig identisch zweipunktverteilten Zufallsgrößen mit $\begin{eqnarray*} P(X_k=1)=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_k=0)=1-p \end{eqnarray*}$ .

Zur Tschebyschowschen Ungleichung:
Immer dran denken, dass es eine Abschätzung ist, das kommt im ersten Abschnitt gut raus. Im zweiten klingt es ein bisschen so, als könnte man damit genau irgendwelche Grenzen festlegen. Kann man nicht, auch hier ist es wieder (nur) eine Abschätzung.

Insgesamt gesehen ist deine Zusammenfassung aber schon ganz gut gelungen - wenn du das so beherrschst, muss dir vor der Prüfung nicht bange sein.

10.04.2006, 09:20

Dual Space

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RE: Verständnisfragen

Zitat:

Original von Bjoern1982
Wie kann man wohl weitere griechische Buchstaben darstellen (mü,phi,sigma...) ?

$\begin{eqnarray*} \phi, \varphi, \Phi, \mu,\sigma,\nu,\omega,\Omega \end{eqnarray*}$ erhält man mit folgender Eingabe:

code:
1:	[latex]\phi, \varphi, \Phi, \mu,\sigma,\nu,\omega,\Omega[/latex]

10.04.2006, 11:26

Bjoern1982

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zu 1)

habs geändert, danke

Zu deiner Anmerkung zu dem Gesetz der großen Zahlen:

Meine Ungleichung (1) steht glaub ich doch nur für eine binomialverteilte Zufallsvariable X, und somit auch das Stichprobenmittel.
Wie kriege ich denn da die Kurve, das für andere Zufallsexperimente zu verallgemeinern? Etwa durch deine Zweipunktbetrachtung?
Wie würdest du diesen Zusammenhang formulieren?

Desweiteren habe ich auch noch (Verständnis)fragen zu Hyhothesen-Tests.
Darf ich die auch noch hier reinposten oder lieber nen neuen Thread (Verständnisfragen2) starten?

Vielen Dank schonmal bis dahin smile

10.04.2006, 11:36

Dual Space

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Desweiteren habe ich auch noch (Verständnis)fragen zu Hyhothesen-Tests.
Darf ich die auch noch hier reinposten oder lieber nen neuen Thread (Verständnisfragen2) starten?

Neuer Thread, aber nenn ihn doch "Hypothesentest", damit gleich alle wissen, worum es geht. Augenzwinkern

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