Beweis lim Folge Wahrscheinlichkeit

10.04.2006, 11:51

Paul_H

Beweis lim Folge Wahrscheinlichkeit

Hallo, folgende Aufgabe macht mir zu schaffen:

Zeigen Sie:
Ist $\begin{eqnarray*} (A_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge von Ereignissen mit $\begin{eqnarray*} A_n \subset A_{n+1} \end{eqnarray*}$ für alle n der natürlichen Zahlen, so gilt

$\begin{eqnarray*} P(A) = lim_{n\rightarrow\infty} P(A_n). \end{eqnarray*}$

Als Hinweis wurde angegeben:
Bertrachten Sie die Ereignisse $\begin{eqnarray*} B_n := A_n \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} A_{n-1}. \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich denn da am besten an die Aufgabe ran? Der Hinweis irritiert mich nur noch mehr...

Ach ja, $\begin{eqnarray*} A := \bigcup^{\infty}_{n=1}A_n \end{eqnarray*}$

10.04.2006, 11:53

Dual Space

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RE: Beweis lim Folge Wahrscheinlichkeit
Die so definierten $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ bilden eine Folge disjunkter Mengen. Hilft das?

Edit: Überleg dir auch in welchem Verhältnis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B:=\bigcup_{n=1}^\infty B_n \end{eqnarray*}$ zueinander stehen.

10.04.2006, 13:11

Paul_H

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Also mit deinen Tipps habe ich (hoffentlich wenigstens ansatzweise richtig) A und B wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} A := \sum^{\infty}_{n=1}A_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B := \overbrace{\sum^{\infty}_{n=1}A_n \backslash A_{n-1}}^{(*)} =: A_0 \end{eqnarray*}$ , denn wenn n ins Unendliche geht ist $\begin{eqnarray*} A_0 \end{eqnarray*}$ das einzige, was bei $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ übrig bleibt...

Aber wie hilft mir das jetzt weiter?

10.04.2006, 13:22

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Das Summensymbol $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ solltest du bei den Ereignissen durch das Vereinigungssymbol $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ ersetzen.

Wie's weitergeht? Nun, für disjunkte $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ gilt ja laut grundlegendem Wkt-Axiom

$\begin{eqnarray*} P(A) = P\left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} ~ B_n \right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} ~ P(B_n) \end{eqnarray*}$

Da steht jetzt rechts eine konvergente (!) Reihe, deren Partialsummenfolge mit den Wahrscheinlichkeiten der Originalereignisfolge zusammenhängt...

10.04.2006, 13:54

Dual Space

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Zitat:

Original von Paul_H
$\begin{eqnarray*} B := \overbrace{\sum^{\infty}_{n=1}A_n \backslash A_{n-1}}^{(*)} =: A_0 \end{eqnarray*}$ , denn wenn n ins Unendliche geht ist $\begin{eqnarray*} A_0 \end{eqnarray*}$ das einzige, was bei $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ übrig bleibt...

Das stimmt nicht! unglücklich

In AD's Post siehst du wie es richtig ist.

10.04.2006, 16:36

Paul_H

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Aha, alles klar, das hier so wichtige Axiom ist mir natürlich völlig entfallen, wird mir eine Lehre sein und es nicht nochmal vergessen.
Jetzt leuchtet mir dass alles auch ein, vielen Dank. Wink

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