Abstandsproblematiken

10.04.2006, 16:10

ulli

Abstandsproblematiken

Hallo!

Ich schreibe mir gerade einen kleinen Merkzettel zur Abstandsproblematik der analytischen Geomietrie und würde dabei gerne noch einmal absichern seitens der Richtigkeit und hätte auch noch ein paar Fragen.

Der Punkt sei im folgendem immer P. HNF die hessesche Normalform der Ebene.

Abstand Punkt - Ebene
$\begin{eqnarray*} d(P;E) \end{eqnarray*}$
1.) HNF von E bilden
2.) P in HNF einsetzen.

Anstand Punkt - Gerade
$\begin{eqnarray*} d(P;g) \end{eqnarray*}$
1.) Hilfsebene H aufstellen mit $\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0 \end{eqnarray*}$ (Skalarprodukt)
$\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ist der Richtungsvektor der Geraden (g).
$\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ ist der Ortsvektor zum Punkt P.
2.) Problem Abstand Punkt - Eben. (HNF bilden...)

Abstand windschiefer Geraden
$\begin{eqnarray*} d(g;h) \end{eqnarray*}$
Hier bin ich mir nicht mehr so sicher.
Berechnung mit der Formel: $\begin{eqnarray*} d=|\vec{n} \cdot (\vec{h}-\vec{g})| \end{eqnarray*}$
Sind $\begin{eqnarray*} \vec{h} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{g} \end{eqnarray*}$ die Richtungsvektoren oder die Ortsvektoren?
$\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ist der Normalenvektor (oder N-einheitsveltor?) aus dem Kreuzprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec{h} \times \vec{g} \end{eqnarray*}$ .

Es gibt doch auch die Möglichkeit hier eine Hilfsebene aufzustellen, die z.B. g enthält und parallel zu h ist. Um dann ein "Abstand Punkt - Ebene" Problem zu erhalten. Wie stelle ich diese Ebene auf?

Abstand Gerade - Gerade
Prüfen ob die Geraden parallel oder identisch UND ob sie sich schneiden. Keines von beidem: Abstand windschiefer Geraden.
Was ist wenn sie sich schneiden? Hängt dann wohl von der Aufgabenstellung ab oder? (Im Schnittpunkt ist der Abstand ja 0).

Abstand Ebene - Ebene
Prüfen ob parallel oder identisch. Wie gehe ich vor wenn beides nicht zutrifft?

Gruß ulli

10.04.2006, 16:32

sqrt(2)

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RE: Abstandsproblematiken

Zitat:

Original von ulli
Anstand Punkt - Gerade
$\begin{eqnarray*} d(P;g) \end{eqnarray*}$
[...]
2.) Problem Abstand Punkt - Eben. (HNF bilden...)

Du wirst immer 0 herausbekommen. Weiteres Vorgehen ist: Schnittpunkt Q von g und H bestimmen, d ist dann $\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{PQ}| \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von ulli
Abstand windschiefer Geraden
$\begin{eqnarray*} d(g;h) \end{eqnarray*}$
Hier bin ich mir nicht mehr so sicher.

Man finde einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ , der orthogonal zu g und h steht (beispielsweise über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren und löse das 3x3-LGS $\begin{eqnarray*} \vec{g}+r\vec{n}=\vec{h} \end{eqnarray*}$ .

Es ist dann $\begin{eqnarray*} d=|r\vec{n}| \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von ulli
Es gibt doch auch die Möglichkeit hier eine Hilfsebene aufzustellen, die z.B. g enthält und parallel zu h ist. Um dann ein "Abstand Punkt - Ebene" Problem zu erhalten. Wie stelle ich diese Ebene auf?

Sie hat einen beliebigen Punkt einer Geraden als Richtungsvektor und die Richtungsvektoren beider Geraden als Spannvektoren.

Zitat:

Original von ulli
Abstand Gerade - Gerade
Was ist wenn sie sich schneiden? Hängt dann wohl von der Aufgabenstellung ab oder? (Im Schnittpunkt ist der Abstand ja 0).

Der Abstand ist einfach 0. (Daher wirst du wohl auch keine Aufgabe sehen, wo nach dem Abstand zweier sich schneidender Geraden gefragt wird.)

Zitat:

Original von ulli
Abstand Ebene - Ebene
Prüfen ob parallel oder identisch. Wie gehe ich vor wenn beides nicht zutrifft?

Die Ebenen schneiden sich dann, ihr Abstand ist null.

10.04.2006, 17:22

ulli

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RE: Abstandsproblematiken

Zitat:

Original von sqrt(2)
Du wirst immer 0 herausbekommen. Weiteres Vorgehen ist: Schnittpunkt Q von g und H bestimmen, d ist dann $\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{PQ}| \end{eqnarray*}$ .

Hmm. Das verstehe ich nicht. Ich kann doch die Hilfsbene bestimmen wie ich es beschrieben habe, um dann mit der HNF fortzufahren.

Zitat:

Original von sqrt(2)
Man finde einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ , der orthogonal zu g und h steht (beispielsweise über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren und löse das 3x3-LGS $\begin{eqnarray*} \vec{g}+r\vec{n}=\vec{h} \end{eqnarray*}$ .
Es ist dann $\begin{eqnarray*} d=|r\vec{n}| \end{eqnarray*}$ .

Einfacher ist es doch über Hilfesebene. Wie finde ich die?

Zitat:

Original von sqrt(2)
Sie hat einen beliebigen Punkt einer Geraden als Richtungsvektor und die Richtungsvektoren beider Geraden als Spannvektoren.

Ja, das wäre dann in Parameterform, richtig?
Kann ich die Hilfsebene nicht gleich in Koordinatenform bestimmen. Mit dem Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren und...dann?

[/quote]
Der Abstand ist einfach 0. (Daher wirst du wohl auch keine Aufgabe sehen, wo nach dem Abstand zweier sich schneidender Geraden gefragt wird.)[/quote]
Gut, ich dachte jetzt eher an so etwas berechnen sie den Abstand von Punkt 1 zu Punkt 2...

Gruß ulli

10.04.2006, 17:39

sqrt(2)

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RE: Abstandsproblematiken

Zitat:

Original von ulli
Hmm. Das verstehe ich nicht. Ich kann doch die Hilfsbene bestimmen wie ich es beschrieben habe, um dann mit der HNF fortzufahren.

P ist in deiner Hilfsebene, was soll dir da eine Abstandsberechnung d(P,H) bringen? Was du tust, ist eine zu g senkrechte Ebene zu konstruieren, die P enthält. Das Lot von P auf g liegt dann in der Ebene und ist, wenn Q der Schnittpunkt von g und H ist, gerade $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von ulli
Einfacher ist es doch über Hilfesebene. Wie finde ich die?

Zitat:

Original von sqrt(2)
Sie hat einen beliebigen Punkt einer Geraden als Richtungsvektor und die Richtungsvektoren beider Geraden als Spannvektoren.

Ja, das wäre dann in Parameterform, richtig?

Ja.

Zitat:

Original von ulli
Kann ich die Hilfsebene nicht gleich in Koordinatenform bestimmen. Mit dem Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren und...dann?

Dann brauchst du noch einen Punkt der Ebene R, also den Aufvektor aus der Parameterform (einen beliebigen Punkt der Geraden, die nicht in E liegt). Die Ebene ist dann $\begin{eqnarray*} E:~\vec{n}\cdot(\vec{x}-\overrightarrow{OR})=0 \end{eqnarray*}$ .

edit: Quotes gekürzt.

10.04.2006, 18:01

Poff

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RE: Abstandsproblematiken

Zitat:

Original von ulli
Abstand Punkt - Ebene
$\begin{eqnarray*} d(P;E) \end{eqnarray*}$
1.) HNF von E bilden
2.) P in HNF einsetzen.

12.04.2006, 12:36

ulli

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RE: Abstandsproblematiken

Zitat:

Original von Poff
HNF(P) = +-d
ist richtig.

Ist nicht eher HNF(P) = |d| richtig? Ein negativer Abstand macht doch keinen Sinn.

Zitat:

Etwas verwirrend aufgeschrieben. Hmm, aber sicherlich der schnellste Weg.

Zitat:

Original von Poff
Abstand parallele - Ebene
wie Abstand Punkt Ebene

Also Punkt der Ebene nehmen und einsetzen.

@sqrt(2)

Gut. Ich versuchs nochmal. (Abstand Punkt P Gerade g)
(1) HIlfsebene H bilden und P € H und H senkrecht auf g.
$\begin{eqnarray*} \vec{n_H} = \vec{g} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{n_H} \cdot (\vec{x} - \vec{OP}) = 0 \end{eqnarray*}$
(2) Schnittpunkt (Lotfußpunkt) F von g und H berechnen, also "g in H einsetzen" und zum Parameter auflösen
Wert für Parameter in g einsetzen und herauskommt F.
(3) $\begin{eqnarray*} d = |\vec{FP}| \end{eqnarray*}$

Abstand windschiefer Geraden g und h
(1) Hilfsebene J mit h € J und J || g.
$\begin{eqnarray*} J: \vec{S_h} + s * \vec{g} + t * \vec{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{S_h} \end{eqnarray*}$ ist der Stützvektor von h.

Um jetzt eine Koordinatenform zu erhalten:
Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von J ergibt $\begin{eqnarray*} \vec{n_J} \end{eqnarray*}$
Und somit: $\begin{eqnarray*} \vec{n_J} \cdot (\vec{x} - \vec{S_h}) \end{eqnarray*}$
Rest: Abstand Ebene Punkt.
Stimmt das so?

Gruß ulli

12.04.2006, 15:24

sqrt(2)

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RE: Abstandsproblematiken

Zitat:

Original von ulli

Zitat:

Original von Poff
HNF(P) = +-d
ist richtig.

Ist nicht eher HNF(P) = |d| richtig? Ein negativer Abstand macht doch keinen Sinn.

Es ist $\begin{eqnarray*} |\operatorname{HNF}(P)|=d~\Lra~\operatorname{HNF}(P)=\pm d \end{eqnarray*}$ . Ein negativer Abstand ergibt keinen Sinn, aber es gibt positive und negative Orientierung eines Abstandes.

Zitat:

Original von ulli
Stimmt das so?

Ja.

12.04.2006, 16:43

ulli

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RE: Abstandsproblematiken
Herzlichen Dank an Euch.

- ulli

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