Relative Geschwindigkeit

10.04.2006, 20:14

Dual Space

Relative Geschwindigkeit

Bin heute mal wieder Zug gefahren (es lebe die Bahn Kotzen

, aber das ist eine andere Geschichte) und als ich so aus dem Fenster schau habe ich mir folgende Frage gestellt. Um mir das erklären zu erleichtern, gleich mal ein paar vereinfachende Annahmen:

(A1) Der Zug bewegt sich mitr einer konstanten Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

(A2) Dier Passagier sitzt direkt vor dem Fenster und die Scheibe habe eine Dicke von 0.

(A3) Der Passagier blickt auf Erdbodenhöhe aus dem Zug.

(A4) Die Erdkrümmung sei vernachlässigt, sie sei also eine unendlich große Scheibe.

So nun zum Thema: Wenn man aus einem fahrenden Zug aus dem Fenster schaut, scheinen sich weiter entfernte Punkte langsamer an einem vorbeizubewegen als nahe Punkte (Stichwort: Perspektive!). Diese scheinbare (beobachtbare) Geschwindigkeit möchte ich im Folgenden Relativgeschwindigkeit nennen und mit $\begin{eqnarray*} v(s) \end{eqnarray*}$ bezeichen, wobei $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ die Entfernug des betrachteten Punktes vom Zug ist.

Meine Frage ist nun nach einer expliziten Darstellung der Funktion $\begin{eqnarray*} v(s) \end{eqnarray*}$ . Zusammenfassend müsste sie folgende Eigenschaften haben:

(i) $\begin{eqnarray*} v(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{s\to 0+} v(s)=a \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} \lim_{s\to\infty}v(s)=0 \end{eqnarray*}$

(iii) $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist konvex und monoton fallend (was allerding auch zu beweisen wäre)

Als geeigneten Kandidaten würde ich

$\begin{eqnarray*} v(s)=\begin{cases} 0 &: s=0\\ ae^s &: s>0\end{cases} \end{eqnarray*}$

vorschlagen. Aber wie konstruiert man diese Funktion bzw. wie beweist man deren Gültigkeit? Irgendwie gelingt es mir nicht das Verhalten von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s>0 \end{eqnarray*}$ konkret zu beschreiben.

Vielleicht ist unter euch ja noch ein Bahnfahrer, der mir da auf die Sprünge helfen kann.

10.04.2006, 20:32

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RE: Relative Geschwindigkeit

Zitat:

Original von Dual Space
Wenn man aus einem fahrenden Zug aus dem Fenster schaut, scheinen sich weiter entfernte Punkte schneller an einem vorbeizubewegen als nahe Punkte

Also da hab ich genau gegenteilige Erfahrungen. smile

Und was heißt "schneller vorbeibewegen"? Hinsichtilich Winkelgeschwindigkeit?

10.04.2006, 20:39

Dual Space

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RE: Relative Geschwindigkeit
Sry, Arthur ... Schreibfehler! Oben berichtigt.

Mit scheller vorbei bewegen meine ich die Geschwindigkeit, mit der sie an der Scheibe vorbeiziehen. Ich hoffe du weißt wie ich das meine.

Nachtrag: Also was ich mit der Relativgeschwindigkeit meine, ist jene, mit der sich die Punkte auf dem 2-dimensionalen Bild der Scheibe bewegen.
*Hab das Gefühl, das diese Erklärung auch nicht zum besseren Verständnis beiträgt* traurig

10.04.2006, 22:39

sommer87

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Hi,
ist (ii) so richtig oder soll da nach dem limes noch ein v(s) hin?

Wäre die Frage nicht eher in Richtung physikerboard Augenzwinkern

10.04.2006, 23:04

as_string

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RE: Relative Geschwindigkeit

Zitat:

Original von Dual Space
Nachtrag: Also was ich mit der Relativgeschwindigkeit meine, ist jene, mit der sich die Punkte auf dem 2-dimensionalen Bild der Scheibe bewegen.
*Hab das Gefühl, das diese Erklärung auch nicht zum besseren Verständnis beiträgt* traurig

Aber dann ist es doch einfacher Strahlensatz. Wo liegt das Prob? Versteh' ich nicht...
Du hättest dann einfach so was wie $\begin{eqnarray*} v_s = v_0\frac{d}{r} \end{eqnarray*}$ mit d Entfernung Auge/Scheibe und r Entfernung Auge/Objekt. Im Prinzip funktioniert danach ja auch die Projektion z. B. bei Computerspielen, etc.

Gruß
Marco

11.04.2006, 07:40

Dual Space

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Zitat:

Original von sommer87
Hi,
ist (ii) so richtig oder soll da nach dem limes noch ein v(s) hin?

Danke dir. Oben berichtigt!

Zitat:

Wäre die Frage nicht eher in Richtung physikerboard Augenzwinkern

Wird sich herausstellen. Augenzwinkern

Aber so physikalisch ist doch das gar nicht.

@as_string: Bei mir ist momentan annahmegemäß der Abstand Auge/Scheibe gleich 0 (owohl ich mir jetzt überlege, ob diese Annahme wirklich sinnvoll ist).
Trotzdem finde ich deine Idee interessant, denn da hab ich auch schon kurz drüber nachgedacht, hab sie aber aus irgendeinem Grund wieder verworfen.

11.04.2006, 09:49

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Zitat:

Original von Dual Space
Also was ich mit der Relativgeschwindigkeit meine, ist jene, mit der sich die Punkte auf dem 2-dimensionalen Bild der Scheibe bewegen.
*Hab das Gefühl, das diese Erklärung auch nicht zum besseren Verständnis beiträgt*

Ja, dieses Gefühl habe ich auch. Nochmal, ich würde als "fassbarere" Maßzahl die Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \omega = \dot\varphi \end{eqnarray*}$ heranziehen. Und mit $\begin{eqnarray*} \varphi(t)=\arctan\frac{vt}{d} \end{eqnarray*}$ folgt einfach $\begin{eqnarray*} \omega(t)=\frac{vd}{v^2t^2+d^2} \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ der minimale Abstand des Beobachtungsobjekts zum Zugfenster, d.h.,gerade zum Zeitpunkt t=0.

11.04.2006, 11:21

Dual Space

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nochmal, ich würde als "fassbarere" Maßzahl die Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \omega = \dot\varphi \end{eqnarray*}$ heranziehen. Und mit $\begin{eqnarray*} \varphi(t)=\arctan\frac{vt}{d} \end{eqnarray*}$ folgt einfach $\begin{eqnarray*} \omega(t)=\frac{vd}{v^2t^2+d^2} \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ der minimale Abstand des Beobachtungsobjekts zum Zugfenster, d.h.,gerade zum Zeitpunkt t=0.

Mmm ... ich denke das klingt sinnvoll. Ist $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ dabei die Geschwindigkeit des Zuges?

Wenn ich dich richtig verstanden habe, schlägst du vor die Winkelgeschwindigkeit zur Zeit $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ als Maßzahl zu nehmen. Wenn dann aber $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ die Geschwindigkeit des Zuges ist, so stehe ich vor dem Problem, dass diese Winkelgeschwindigkeit für Beobachtungsobjekte, die der Scheibe hinreichend nahe sind, beliebig groß werden kann, also dass insbesondere Eigenschaft (i) meines ersten Posts verletzt ist.

[Arthur: Wenn dieser Post richtiger Blödsinn ist, sag es ruig, dann muss ich das mal genau aufbröseln und vor allem mal wieder ein paar Grundlagen auffrischen Augenzwinkern

]

11.04.2006, 18:23

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Also auch wenn das was ich jetz schreib von allem abweicht, was ihr bereits herausgefunden habt, könnt ihr Euch meine Überlegungen ja trotzdem mal anschauen - vielleich findet ihr ja dabei was, das Euch weiterhelfen kann.

Zuerst hab mir mir mal folgende kleine Skizze gemacht:

Edit (mY+): Link ist tot, daher wurde er entfernt.

Dabei ist dann $\begin{eqnarray*} e||f \end{eqnarray*}$ . Das Grüne ist gesucht, das Rote gegeben (hab vergessen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu markieren, ist also auch gegeben).

$\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ist der Weg, den der Zug in einer bestimmten Zeit zurücklegt. $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist die Entfernung des Objektes zum Zug. $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist der Winkel, den der Reisende einsehen kann.
Gesucht ist $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ .

Den Winkel Gamma kann man ja durch den Innenwinkelsatz errechenen, also $\begin{eqnarray*} \gamma=180^\circ-\left[2\cdot\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\right] \end{eqnarray*}$
Den Scheitelwinken von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ kann man dann in das obere Dreieck übertragen.
Mach dem Innenwinkelsatz kann man ja dann $\begin{eqnarray*} \beta=\frac{180^\circ-\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ errechnen.
Weiterhin kann mal ja $\begin{eqnarray*} \frac{\sin{\gamma}}{u}=\frac{\sin{\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}}{\overline{AC}}\Leftrightarrow%20\overline{AC}=\frac{u\cdot\sin{\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}}{\sin{\gamma}} \end{eqnarray*}$ rechnen.

$\begin{eqnarray*} \overline{AC}^{2}={\left(\frac{u}{2}\right)}^{2}+{s_{2}}^{2}\\\Leftrightarrow{s}_{2}=\sqrt{\overline{AC}^{2}-{\left(\frac{u}{2}\right)}^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {s}_{1}=\overline{DE}-{s}_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin{\left(\frac{\gamma}{2}\right)}=\frac{v}{{s}_{1}}\Leftrightarrow%20v={s}_{1}\cdot\sin{\left(\frac{x}{2}\right)} \end{eqnarray*}$

Also wäre dann die relative Geschwindigkeit des Objektes $\begin{eqnarray*} {v}_{relativ}=\frac{v}{t} \end{eqnarray*}$ .

Bitte steinigt mich nicht aufgrund der vielen Fehler, aber wie gesagt: mit ein bisschen Glück könnt ihr euch ja Ideen holen Augenzwinkern

Gruß Ny

EDIT: LaTeX verbessert

11.04.2006, 20:40

Dual Space

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Zitat:

Original von Ny
Also wäre dann die relative Geschwindigkeit des Objektes $\begin{eqnarray*} {v}_{relativ}=\frac{v}{t} \end{eqnarray*}$ .

Also wenn dein t ein s sein soll, dann bist du ja auf das selbe Ergebnis wie Arthur gekommen (sofern ich Arthur richtig verstanden habe). Dann würde ich aber die selben Bedenken (siehe mein letzter Post) anmelden.
Ansonsten finde ich deine Lösung elegant, da die Konstruktion sehr elementar ist.

11.04.2006, 20:54

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Zitat:

Original von Dual Space
Also wenn dein t ein s sein soll, dann bist du ja auf das selbe Ergebnis wie Arthur gekommen (sofern ich Arthur richtig verstanden habe).

Naja, eigentlich dachte ich mir das so in der Art wie es da steht, bin aber in dem Punkt flexibel Augenzwinkern

.

Ich hatte mich halt ersteinmal darauf konzentriert v (als Strecke) zu finden. Am Ende war ich mir auch nicht ganz so sicher, aber das schien mir immernoch am besten.
Mein Gedanke entstand aus der Überlegung heraus, dass Geschwingigkeit gleich Weg durch Zeit ist und als Weg hab ich das oben errechnete eingesetzt und als Zeit hab ich erstmal die Zeit vom Zug gelassen, da mir nicht besseres in den Sinn gekommen ist Augenzwinkern

Aber danke schonmal für das Lob. ich dachte schon ich lieg irgendwo ganz weit daneben...

11.04.2006, 21:06

Dual Space

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Zitat:

Original von Ny
Naja, eigentlich dachte ich mir das so in der Art wie es da steht, bin aber in dem Punkt flexibel Augenzwinkern

Ich dachte nur weil in deiner ganzen Rechnung sonst kein t auftaucht.

11.04.2006, 21:19

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Also, das meinst du Augenzwinkern

Also wie gesagt: Ich hab das v aus meiner Rechnung halt einfach in die Gleichung für die Geschwindigkeit eingesetzt. Und ich die zeit noch nicht gesondert betrachtet hab, hab ich das halt aus der Standartgleichung übernommen.

12.04.2006, 22:17

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Ok, ich hab das ganze von mir jetzt nochmal zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} v=\left[s-\sqrt{\left[\frac{u\cdot\sin{\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}}{\sin{\left[180^\circ-\left(2\cdot\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\right)\right]}}-\left[\frac{u}{2}\right]^{2}\right]}\right]\cdot\sin{\left[\frac{\left[180^\circ-\left(2\cdot\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\right)\right]}{2}\right]} \end{eqnarray*}$

Ich weiß: Man könnte hier und dort noch was vereinfachen, aber ich hab es erstmal so gelassen.
Jedoch gibt es, wie mir grad aufgefallen ist, nur ein Problem: Das ganze Ergebnis hängt ja jetzt vom Sehwinkel des Betrachters ab. Nur das kann ja nicht sein! Es müsste ja egal sein, welchen Winkel der Betrachter einsehen kann, da da Geschwindigkeit gleich sein müsste - egal ob der Winkel 10° oder 100° beträgt.
Nur ohne den Sehwinkel kann man ja schlecht an die Berechnungen rangegen...

Gibt's da vielleicht doch noch einen Weg ohne Winkel verwenden zu müssen?

21.04.2006, 16:30

Dual Space

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So, heute bin ich wieder Zug gefahren und was ist mit durch den Kopf gegangen ... genau! Augenzwinkern

Ny und Arthur: Die Konstruktion eurer Lösungen erscheint mir ja durchaus plausibel, dennoch scheinen sie irgendwie inkonsistent bzgl. einer gewünschten Eigenschaft ((i) aus meinem ersten Post) zu sein, von der ich eigentlich nicht abrücken möchte.

Ich rekapitulier noch mal: Laut eurer Lösung lassen sich meine "relativen Geschwindigkeiten" beschreiben durch $\begin{eqnarray*} \omega(d)=\frac{v}{d} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ die (annahmegemäß konstante) Geschwindigkeit des Zuges ist, und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ der (minimale) Abstand des Beobachtungsobjektes vom Zug.

Wenn ich mir nun ein Beobachtungsobjekt mit sehr geringem Abstand vom Zug (also nahe Null) wähle, so wird $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ größer, als die Zuggeschwindigkeit (bei hinreichend kleinem Abstand, sogar beliebig groß). Das passt aber nun wirklich nicht in mein Model.

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