Determinante einer schwierigen Matrix

11.04.2006, 12:21	Sly555	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante einer schwierigen Matrix Hallo! Ich ein Problem, folgende Aufgabe zu lösen: Gegeben seien $\begin{eqnarray} x_1, x_2, ..., x_n \in K \end{eqnarray}$ und die zugeörige Matrix $\begin{eqnarray} A \in M_{n \times n}(K) \end{eqnarray}$ , die so aussieht: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & ... & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & ... & x_n^2 \\ ... & ... & ... & & ... \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & ... & x_n^{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man soll nun $\begin{eqnarray} det(A) \end{eqnarray}$ berechnen. Ich habe schonmal von jemandem gezwitschert bekommen, dass die Formel $\begin{eqnarray} det(A) = \Pi_{1 \leq i < j \leq n} (x_j-x_i) \end{eqnarray}$ stimmen soll. Ich habe es mal mit vollständiger Induktion nach k probiert, komme aber nicht wirklich weiter: Induktionsbehauptung klar; Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} k = 1 \Rightarrow det(1) = 1 \end{eqnarray}$ stimmt. $\begin{eqnarray} k = 2 \Rightarrow det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{pmatrix} = x_2 - x_1 \end{eqnarray}$ stimmt auch. Nur beim Induktionschritt wird es schwierig. Laplace-Entwicklung nach letzten Spalte bringt mir nur $\begin{eqnarray} \sum_{l = 1}^{n} (-1)^{l+n}\cdot x_n^{l-1}\cdot det(A^{(l,n)}) \end{eqnarray}$ Nur wie komme ich jetzt weiter?! Andere haben mir schon gesagt, dass der Ansatz richtig sei, aber wie kommt man weiter? Ich bitte euch um Hilfe... Schonmal danke im Vorraus! MfG
11.04.2006, 15:16	Daktari	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion stimmt. Gut erkannt. Tip zum Induktionsschritt: Ziehe in der k-ten Zeile, das $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ -fache der $\begin{eqnarray} (k-1) \end{eqnarray}$ ten Zeile ab, für $\begin{eqnarray} k = n,(n-1),...,2 \end{eqnarray}$ Das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen, verändert die Determinante nicht. EDIT: Man nennt diese Matrix die Vandermondesche Matrix

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