mittelpunkt und umkreis / dreieck

11.04.2006, 13:02

febus

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mittelpunkt und umkreis / dreieck

aye,

ich soll rechnerisch (keine zeichnerischen hilfmittel!) einen mittelpunkt M des umkreises k von dreieck ABC errechnen, wobei A(3;7) B(9;-1) und C(10;6) sind.

ist mein ansatz mit der kreisformel $\begin{eqnarray*} k: (x-x_M)^{2}+(y-y_M)^{2}=r^{2} \end{eqnarray*}$ korrekt, wenn ich mir daraus und den gegebenen punkten einfach 3 gleichungen mit den variablen $\begin{eqnarray*} x_M \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_M \end{eqnarray*}$ und r bastel?

wenn ja, komme ich da nicht recht weiter: ein zwischenergebnis nach gleichsetzung von $\begin{eqnarray*} k_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_B \end{eqnarray*}$ ergab $\begin{eqnarray*} x_M=(2+y_M) \end{eqnarray*}$ .
dies eingesetzt in $\begin{eqnarray*} k_C \end{eqnarray*}$ hat mich nicht weitergebracht (es kam kein ergebnis raus), was mich an meinem rechenweg hat zweifeln lassen.

any help? gruß

11.04.2006, 13:28

sqrt(2)

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RE: mittelpunkt und umkreis / dreieck

Zitat:

Original von febus
ist mein ansatz mit der kreisformel $\begin{eqnarray*} k: (x-x_M)^{2}+(y-y_M)^{2}=r^{2} \end{eqnarray*}$ korrekt, wenn ich mir daraus und den gegebenen punkten einfach 3 gleichungen mit den variablen $\begin{eqnarray*} x_M \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_M \end{eqnarray*}$ und r bastel?

Ja.

Zitat:

Original von febus
ein zwischenergebnis nach gleichsetzung von $\begin{eqnarray*} k_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_B \end{eqnarray*}$ ergab $\begin{eqnarray*} x_M=(2+y_M) \end{eqnarray*}$ .

Das ist so weit auch richtig.

Zitat:

Original von febus
dies eingesetzt in $\begin{eqnarray*} k_C \end{eqnarray*}$ hat mich nicht weitergebracht (es kam kein ergebnis raus)

Setze einfach $\begin{eqnarray*} k_B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_C \end{eqnarray*}$ noch einmal gleich, dann hast du keine Scherereien mit dem Radius.

11.04.2006, 14:15

febus

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aso, logisch ^^

stimmt $\begin{eqnarray*} M(6\frac{1}{6};4\frac{1}{6}) \end{eqnarray*}$ ?

11.04.2006, 14:28

sqrt(2)

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Ja. (Du kannst auch einfach selbst überprüfen, ob A, B, C zu M den gleichen Abstand haben, hier $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6}\sqrt{26} \end{eqnarray*}$ .)

11.04.2006, 15:49

febus

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okay, besten dank bis dahin.
nur noch eine kleine sache.

der radius ist nach einsetzen in die kreisformel ~4,25
bei dem punkt B (9;-1) klappt das aber nicht. das "minus 1" stört; bei "plus 1" würde das ergebnis mit den anderen rechnugn übereinstimmen.

fehler in der aufgabe oder fehler bei mir? unglücklich

unglücklich

edit: ich merk grad, dass ich B komischerweise anfangs auch (9;1) angegeben habe, steht aber als B(9;-1) in der aufgabe!

11.04.2006, 15:51

riwe

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alternativ: schneide die beiden geraden:
$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{AB}= \begin{pmatrix} 6 \\4 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{AC}= \frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 13\\17 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
das liefert M.
nebenbei: x-koordinate stimmt, radius stimmt sowieso (von sqrt(2)), und die y-koordinate lautet bei mir 23/6 statt 25/6.
werner
edit-color: vielleicht liegt da dein fehler?

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11.04.2006, 15:53

febus

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Zitat:

Original von wernerrin
alternativ: schneide die beiden geraden:
$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{AB}= \begin{pmatrix} 6 \\4 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{AC}= \frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 13\\17 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
das liefert M.
nebenbei: x-koordinate stimmt, radius stimmt sowieso (von sqrt(2)), und die y-koordinate lautet bei mir 23/6 statt 25/6.
werner
edit-color: vielleicht liegt da dein fehler?

jop danke, ich rechnes nochmal damit nach

11.04.2006, 16:13

febus

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hallo wernerrin, ich hab nochmal alles nachgerechnet und verstehe nicht, wie du auf 23/6 kommst.

ich versuche dir meinen rechenweg zu erläutern:

wie schon gesagt, setze ich erst meine koordinaten in folgende gleichung

$\begin{eqnarray*} k: (x-x_M)^{2}+(y-y_M)^{2}=r^{2} \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} k_A: (3-x_M)^{2}+(7-y_M)^{2}=r^{2} \end{eqnarray*}$ etc. und stelle dann erst $\begin{eqnarray*} k_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_B \end{eqnarray*}$ gleich.

dabei kommt bei mir $\begin{eqnarray*} x_M=(2+y_M) \end{eqnarray*}$ raus.

hiernach stelle ich $\begin{eqnarray*} k_B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_C \end{eqnarray*}$ mit ersetztem $\begin{eqnarray*} x_M \end{eqnarray*}$ gleich:

$\begin{eqnarray*} k: (9-(2+y_M))^{2}+(-1-y_M)^{2}=(10-(2+y_M))^{2}+(6-y_M)^{2} \end{eqnarray*}$

hierbei kommt eben dieses verdammte $\begin{eqnarray*} y_M=\frac{25}{6} \end{eqnarray*}$ raus.

demnach wäre $\begin{eqnarray*} x_M=2+\frac{25}{6}=6\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

wenn du mir nun sagst, in welchem schritt der rechenfehler liegen muss, bin ich gerne bereit, den ganzen schwulst auszuschreiben : D

mfggggg

11.04.2006, 17:19

riwe

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@entschuldige febus:
ich werde jetzt alles noch einmal rechnen, aber warum schreibt ihr so was wie 61/6 und so.., das habe ich "übergesehen" und dieser wert ist nach meiner alten rechnung auch falsch, wieder -1/6 statt +1/6.

meine 1.ergebnisse: M(35/6; 23/6) und r = wie gehabt.

35/6=6 - 1/6 und 23/6 = 4 - 1/6 statt wie bei dir 6 + 1/6 und 4 + 1/6. gibt es die möglichkeit eines vorzeichenfehlers?
melde mich nach rechnung, graph(fisch)isch stimmen meine werte.
werner

11.04.2006, 17:42

riwe

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kann es sein, dass du die angaben geändert hast!
das ist käse.
nun erhalte ich mit den angaben A(3/7), B(9/-1) und C(10/6):
M(6/3) und r = 5
werner
edit: B_alt(9/1) => B_neu(9/-1)?

11.04.2006, 17:51

febus

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Zitat:

Original von wernerrin
kann es sein, dass du die angaben geändert hast!
das ist käse.
nun erhalte ich mit den angaben A(3/7), B(9/-1) und C(10/6):
M(6/3) und r = 5
werner
edit: B_alt(9/1) => B_neu(9/-1)?

ja, ich hatte anfangs dieses -1 nicht richtig gesetzt, aber meinen fehler dann korrigiert und dies auch in nem neuen beitrag geschrieben, tut mir leid, wenn du das übersehen hattest - habe meinen fehler erst spät bemerkt unglücklich

unglücklich

M(6/3) und r = 5 ?
naja, irgendwie bin ich nurnoch verwirrt. da muss ja was grundlegendes bei mir falsch sein; obwohl ich das zeug 10mal durchgerechnet habe ...

11.04.2006, 17:58

Poff

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für die Punkte A(3/7), B(9/-1), C(10/6) sind

M(6;3) und r=5 richtig.

11.04.2006, 18:06

febus

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Zitat:

Original von Poff
für die Punkte A(3/7), B(9/-1), C(10/6) sind

M(6;3) und r=5 richtig.

ok, dann stimmt nichtmal mein zwischenergebnis -_-
d.h. ich bin zu dumm zum rechnen.

11.04.2006, 18:19

febus

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hier mal mein fehlerhafter rechenweg ausgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} k_A: (3-x)^{2}+(7-y)^{2}=r^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_B: (9-x)^{2}+(-1-y)^{2}=r^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_C: (10-x)^{2}+(6-y)^{2}=r^{2} \end{eqnarray*}$

ist mein gleichungssystem.

gleichsetzung von k_A und k_B:

$\begin{eqnarray*} k: (3-x)^{2}+(7-y)^{2}=(9-x)^{2}+(-1-y)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k: 3^{2}-6x+x^{2}+7^{2}-14y+y^{2}=9^{2}-18x+x^{2}+1-2y+y^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -24+12x-12y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=(2+y) \end{eqnarray*}$

sry, wenn es voller fehler ist, ich kann es anscheinend nicht besser

11.04.2006, 18:24

sqrt(2)

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Zitat:

Original von febus
$\begin{eqnarray*} k: 3^{2}-6x+x^{2}+7^{2}-14y+y^{2}=9^{2}-18x+x^{2}+1-2y+y^{2} \end{eqnarray*}$

Es muss rechts +2y heißen.

11.04.2006, 18:27

febus

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das binom hieß aber (-1-y)^2

11.04.2006, 18:27

riwe

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na wer wird denn gleich so verzweifelt, zaghaft, aggressiv usw. sein?
I - II: 3m - 4n = 24
I - III: n = 7m - 39
werner

edit: .... = ... + 2y Teufel

Teufel

Teufel

diese vorzeichen???????????

11.04.2006, 18:30

sqrt(2)

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Zitat:

Original von febus
das binom hieß aber (-1-y)^2

$\begin{eqnarray*} (-1-y)^2=((-1)(1+y))^2=(-1)^2(1+y)^2=(1+y)^2 \end{eqnarray*}$

... oder auch mit der Binomischen Formel $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ : Hier ist $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=-y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 2ab=2(-1)(-y)=2y \end{eqnarray*}$ .

11.04.2006, 18:50

febus

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hey leute, war ja wieder klar, dass ich irgendwo an so nem firlefanz gescheitert bin Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

nice, jetzt hab ich die aufgabe auch richtig! und das nach nur 5 stunden. mathe macht einfach spass Forum Kloppe

Forum Kloppe

Augenzwinkern

danke

11.04.2006, 18:59

riwe

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wenn´s dich tröstet: was sind schon 5 stunden?
(im leben eines 65-jährigen)
werner

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