Anwendung der Tschebischew-Ungleichung

11.04.2006, 14:23

TeeTasse

Anwendung der Tschebischew-Ungleichung

Hallo,
ich versteh irgendwie die Tschebischew-ungleichung nicht mehr. In der Formelsammlung steht:

$\begin{eqnarray*} P(|X- \mu|>c)< \frac{\sigma^2}{c^2} \end{eqnarray*}$

Dementsprechend müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} P(|\frac X n - p|>\frac c n)< \frac{\sigma^2}{(\frac c n)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt wollt ich dazu eine Aufgabe rechnen:

$\begin{eqnarray*} P(|\frac X n - p|<0.1) \end{eqnarray*}$ p=0.5 n=41

Aber ich komm nicht auf das richtige Ergebnis. Das müsste doche eigentlich nur $\begin{eqnarray*} 1 - \frac {\sigma^2}{ 0.1^2} \end{eqnarray*}$ sein, aber da kommt der größte Müll raus. Könnt ihr mir sagen, wo mein Denkfehler ist?

--- Doppelpost zusammengefügt! ---

hallo,
hab gerade noch eine idee. Es geht bei sowas ja immer um sigma-Intervalle und bei Wahrscheinlichkeiten teilt ich üblicherweise durch n.

$\begin{eqnarray*} c=0.1=\frac{k\sigma}{n} \end{eqnarray*}$

Dann würde das sigma rausfallen und man hätte nurnoch $\begin{eqnarray*} 1- \frac{1}{0.1 \cdot n} \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht, ob das ricthig ist, weil in der Formelsammlung steht

$\begin{eqnarray*} P(|h-p|<e)>1- \frac{pq}{ne^2} \end{eqnarray*}$

11.04.2006, 15:51

incass

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schreib doch bitte mal deine aufgabe !

11.04.2006, 19:18

Anirahtak

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RE: Anwendung der Tschebischew-Ungleichung

Zitat:

Original von TeeTasse
Dementsprechend müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} P(|\frac X n - p|>\frac c n)< \frac{\sigma^2}{(\frac c n)^2} \end{eqnarray*}$

Hallo TeeTasse,
genau in dieser Gleichung liegt dein Fehler! Es gilt nämlich:
$\begin{eqnarray*} P\left(\left| \frac X n - p\right|>\frac c n\right)=P\left(|X-np|>c\right)=P(|X-\mu |)< \frac{\sigma^2}{c^2} \end{eqnarray*}$

Bei der ersten Umformung wird ja die ganze Gleichung mit n multipliziert, es ändert sich also die Wahrscheinlichkeit nicht.
Das passt dann auch damit zusammen, was du in der Formelsammlung gefunden hast.

Ich hoffe deine Frage ist damit beantworten.
Gruß
Anirahtak

11.04.2006, 21:02

TeeTasse

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Hallo,
da lag also der Fehler. Aber wie rechne ich dann konkret. Z.B. mit einer Binomialverteilung n=41 p=0.5 $\begin{eqnarray*} \sigma =sqrt{10.25} \end{eqnarray*}$ und wenn jetzt gilt: $\begin{eqnarray*} P(|h-p|<0.1) \end{eqnarray*}$ dann müsste ich doch rechnen: $\begin{eqnarray*} 1- \frac{\sigma^2}{0.01} \end{eqnarray*}$ Dieses ergibt doch keine Wahrscheinlichkeit...

11.04.2006, 21:18

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Sagt ja auch keiner, sondern nur, dass es eine untere Schranke für eine Wahrscheinlichkeit ist:

$\begin{eqnarray*} P(|h-p|<0.1) \geq 1- \frac{\sigma^2}{0.01} \end{eqnarray*}$

Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} \sigma=1 \end{eqnarray*}$ ist, kriegst du die tiefschürende Aussage

$\begin{eqnarray*} P(|h-p|<0.1) \geq -99 \end{eqnarray*}$

Und die ist zweifelsohne richtig, auch wenn rechts mit -99 keine Wahrscheinlichkeit steht. Augenzwinkern

11.04.2006, 21:25

TeeTasse

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aber in meinem Buch steht dort eine Tabelle mit mehreren n gegen
$\begin{eqnarray*} P(|\frac{X}{n}|<\epsilon) \end{eqnarray*}$ und für p=0.5 und $\begin{eqnarray*} \epsilon=0.1 \end{eqnarray*}$ steht dort bei n=41 $\begin{eqnarray*} P(|\frac{X}{n}|<\epsilon)=80% \end{eqnarray*}$

11.04.2006, 21:30

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Ich kann diese Unart nicht ausstehen, einfach immer wegzulassen, was $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein soll. Ich nehme an, es geht um binomialverteilte $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ , ja? Und meinst du dann nicht eher $\begin{eqnarray*} P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| < \varepsilon \right) \end{eqnarray*}$ ?

12.04.2006, 08:16

TeeTasse

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Entschuldigung. Ja, es handelt sich um eine Binomialverteilung und es ist

gemeint.

12.04.2006, 10:51

Anirahtak

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Hallo,
bei diesen 80% die in der Tabelle angegeben sind wird es sich um die exakten Wahrscheinlichkeiten handeln. Dass da was anderes rauskommt, als bei der sehr groben Tschebyschev-Abschätzung ist doch eigentlich nicht verwunderlich.

Gruß
Anirahtak

12.04.2006, 11:04

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So ist es. Die Tschebyschowsche Ungleichung ergibt hier übrigens wegen $\begin{eqnarray*} \operatorname{var} \frac{X}{n} = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{1}{164} \end{eqnarray*}$ die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| < \varepsilon \right) \geq 1-\frac{1}{\varepsilon^2}\operatorname{var} \frac{X}{n} \approx 39% \end{eqnarray*}$

Und der exakte Wahrscheinlichkeitswert 80% ist doch größer als 39%, also ist alles in Ordnung.

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