Nullteiler

11.04.2006, 17:20

irre.flexiv

Nullteiler

Moinmoin,

Gegeben sei der Ring R der auf dem Intervall I = [-1,1] stetigen Funktionen. Ist der Ring nullteilerfrei?

Ich würde jetzt mit ja antworten, weil ich keine zwei Funktionen f und g ungleich 0 finde so daß: $\begin{eqnarray*} \forall x \in I: f\cdot g = 0 \end{eqnarray*}$ .

Ist daß so richtig? Man könnte ja auch annehmen: Existieren zwei Funktionen f und g ungleich 0 mit $\begin{eqnarray*} \exists x\in I: f\cdot g = 0 \end{eqnarray*}$ dann sind f und g Nullteiler.

Aber wäre dann z.B. $\begin{eqnarray*} f \not = 0 \wedge f(0)=0 \end{eqnarray*}$ wäre f ja Nullteiler von jeder anderen Funktion aus R. Das kanns ja auch nich sein *g

Hilfe

11.04.2006, 17:22

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nullteiler
Müssen die Funktionen stetig sein? Dürfen sie Nullstellen besitzen?

Edit: Hab grad gelsen, dass schon in der Aufgabe steht, dass die Funktionen stetig sein müssen. Damit hat sich dann auch die zweite Frage erübrigt. Forum Kloppe

11.04.2006, 17:29

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nullteiler

Zitat:

Original von Dual Space
Müssen die Funktionen stetig sein?

im Ring der stetigen Funktionen Hammer

also mir fallen spontan aber ganz schön viele Funktionen f,g ein, die beide nicht die Nullfunktionen (additives Neutralelement des Ringes!) sind, aber f*g dauerhaft 0 ist.

Ich denke mal schon, dass + und * hier komponentenweise gedacht ist.
z.B.
f(x)=0 für x<=0 und f(x)=x für x>0
g(x)=x für x<=0, g(x)=???? für x>0

11.04.2006, 17:29

irre.flexiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sie müssen stetig sein. Soweit ich weiß können stetige Funktionen auch Nullstellen haben Augenzwinkern

edit: maaaan bin ich langsam ^^

11.04.2006, 17:33

irre.flexiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

dauerhaft 0

Ich vermute mal auf meine Frage bezogen heißt das ja?

11.04.2006, 17:37

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von irre.flexiv

Zitat:

dauerhaft 0

Ich vermute mal auf meine Frage bezogen heißt das ja?

welche Frage? Augenzwinkern

"dauerhaft 0" war laienhaft gesagt
ich hätte natürlich "f*g ist das Neutralelement der Addition" sagen sollen
oder plump: "f*g=0" smile

sind die Verknüpfungen denn wie vermutet komponentenweise?

(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(f*g9(x)=f(x)*g(x)

??

11.04.2006, 17:44

irre.flexiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ich hätte natürlich "f*g ist das Neutralelement der Addition" sagen sollen

KLICK!!

Manchmal ist die Antwort einfach zu einfach *g

Der Vollständigkeit halber:

Zitat:

sind die Verknüpfungen denn wie vermutet komponentenweise?

Ja.

11.04.2006, 17:46

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Manchmal ist die Antwort einfach zu einfach *g

dann schreib sie hier noch mal ganz rein, dann ist es vollständig smile

Gruß, Jochen

[danke für die Algebrafrage Tanzen

]

11.04.2006, 18:18

irre.flexiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Funktionen f und g ungleich 0 aus dem gegebenen Ring heißen Nullteiler wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x \in I: f\cdot g = 0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) \end{eqnarray*}$

Beispiel vom LOED:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \left\{\begin{array}{ll}0 \quad, x\leq 0 \\ x \quad, x>0\end{array}\right. \qquad g(x)= \left\{\begin{array}{ll}x \quad, x\leq 0 \\ 0 \quad, x>0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

11.04.2006, 18:20

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

genau, der Algebraiker freut sich schon, Nullteiler gefunden zu haben
der Analytiker weist noch Stetigkeit nach Hammer

jedem das seine......

Schön.

11.04.2006, 19:18

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hätte ich mal ne kurze Zwischenfrage.

Edit:
Vergesst das.

Neue Frage »

Antworten »

Nullteiler

Verwandte Themen