Verschoben! Beweis der allgemeinen binomischen Formel mittels vollständiger Induktion

12.04.2006, 08:35

nitric

Beweis der allgemeinen binomischen Formel mittels vollständiger Induktion

Moin zusammen,

eigentlich habe ich ihn so gut es geht verstanden nur die letzte Zeile ist mir irgendwie unklar. Hier trotzdem der gesamte Rechenweg:

Hier ist erstmal die allgemeine binomische Formel (das hübsche Prachtstück):
$\begin{eqnarray*} (x+y)^n = \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k & x,y \in \mathbb R & n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

1. Schritt: Einsetzen eines beliebigen n (n=1):
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1~ \begin{pmatrix} 1 \\ k \end{pmatrix} x^{1-k}y^k = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} x^{1}y^0 + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} x^{0}y^1 = x+y = (x+y)^1 \end{eqnarray*}$

2. Schritt:
$\begin{eqnarray*} n \Rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$
Induktionsannahme:
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}~ \begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^k \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} (x+y)^n = \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n+1} = (x+y) \sum_{k=0}^{n}~ \begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^{n}~ ((x+y) \begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k ) = \sum_{k=0}^{n}~ ({\begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n-k+1}y^k + \begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^{k+1}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n}~ {\begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^k + \sum_{k=0}^{n}~ \begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^{k+1}} = \sum_{k=0}^{n}~ {\begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^k + \sum_{k=1}^{n+1}~ \begin{pmatrix} {n} \\ {k-1} \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^{k}} \end{eqnarray*}$
Wir spalten von der ersten Summe den ersten Summanden und von der zweiten den letzten Summanden ab:
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n+1} = \begin{pmatrix} {n} \\ 0 \end{pmatrix} x^{n+1}y^0 + \sum_{k=1}^{n}~ {\begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^k + \sum_{k=1}^{n}~ \begin{pmatrix} {n} \\ {k-1} \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^{k}} + \begin{pmatrix} {n} \\ n \end{pmatrix} x^{0}y^{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n+1} = x^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}~ ({\begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^k + \begin{pmatrix} {n} \\ {k-1} \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^{k}} )+ y^{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n+1} =x^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}~ ({\begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} {n} \\ {k-1} \end{pmatrix}) x^{n+1-k}y^{k}} + y^{n+1} = x^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}~ {\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^{k}} + y^{n+1} \end{eqnarray*}$
Bis hier hin habe ich alles verstanden, aber:
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n+1} = \begin{pmatrix} {n+1} \\ 0 \end{pmatrix}x^{n+1} y^0 + \sum_{k=1}^{n}~ {\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^{k}} + \begin{pmatrix} {n+1} \\ {n+1} \end{pmatrix}x^0y^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}~ \begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^k \end{eqnarray*}$
(Das war die Induktionsbehauptung...)

Wie kommt man auf das $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {n+1} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {n+1} \\ {n+1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und wie schafft man es, dass die Summenspitze n+1 wird ??
Tja, das war jetzt echt n' bischen viel?! Ich hoffe ihr könnt mir vergeben!

Vielen Dank und die besten Grüße - nitric

12.04.2006, 09:07

Dual Space

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RE: Beweis der allgemeinen binomischen Formel mittels vollständiger Induktion

Zitat:

Original von nitric
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n+1} =x^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}~ ({\begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} {n} \\ {k-1} \end{pmatrix}) x^{n+1-k}y^{k}} + y^{n+1} = x^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}~ {\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^{k}} + y^{n+1} \end{eqnarray*}$

Weiter kannst du z.B. so machen:

$\begin{eqnarray*} = \left[x^{n+1} + y^{n+1} + \sum_{k=0}^{n+1}~ {\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^{k}}\right]- \underbrace{\left[\binom{n+1}{0}x^{n+1}y^0\right]}_{\text{erster Summand}} - \underbrace{\left[\binom{n+1}{n+1}x^0y^{n+1}\right]}_{\text{letzter Summand}} \end{eqnarray*}$

Also du du fügst "am Anfang und am Ende" der Summe jeweils einen Summanden hinzu und subtrahierst diese dann wieder. Klar?

12.04.2006, 09:33

nitric

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Danke!
Morgen,

Zitat:

Also du du fügst "am Anfang und am Ende" der Summe jeweils einen Summanden hinzu und subtrahierst diese dann wieder. Klar?

Klar(Ein genauerer Blick auf die Grenzen der modifizierten Summe und der beiden neuen Binomialkoeffizienten hätte gereicht!)! Hammer

Grüße - nitric

01.11.2011, 21:29

mr. fehler

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vollständige induktion
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n}~ {\begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^k + \sum_{k=0}^{n}~ \begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^{k+1}} = \sum_{k=0}^{n}~ {\begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^k + \sum_{k=1}^{n+1}~ \begin{pmatrix} {n} \\ {k-1} \end{pmatrix} x^{n+1-k}y^{k}} \end{eqnarray*}$

Warum setzt du beim letzten Term der Zeile einmal n+1 ein (Exponent) und das andere mal beim n über k-1 nicht? Das verwirrt geschockt

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