Flußintegral

12.04.2006, 15:12

Blub

Flußintegral

Hallo,

ich muss leider nochmal einen neuen Beitrag aufmachen. Der in der Softwareabteilung beachtet wohl keiner.

Ich hab also eine Parametrisierung einer Fläche:
{u, v, u² + v²}, {u, -1, 1}, {v, -1, 1}
Und ein Vektorfeld a(r)=(x,z,y).
Jetzt würde ich gerne den Fluß durch die Fläche berechnen.

Die Parametrisierung nach u und v partiell abgeleitet bring mir zwei Vektoren. Um das Flächenelement zu bilden, bilde ich das Kreuzprodukt.

Dabei kommen zwei Vektoren in Frage, einer der nach Innen und einer der nach Außen zeigt. Welchen soll man denn im Allgemeinen nehmen und wie erkenne ich ihn?
Ich hab da den Vektor (-2u,-2v,1) raus. Durch etwas rumprobieren und vergleichen mit der Skizze ist das der, der nach Innen zeigt. Wenn ich jetzt mit dem weiterrechne und das ist der "falsche", reicht es dann wenn ich dann am Endergebnis das Vorzeichen ändere?

Ausgerechnet kommt bei mir 0 raus. Ist das richtig?

Danke für eure Hilfe.

12.04.2006, 15:16

Mathespezialschüler

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Verschoben

12.04.2006, 17:41

Abakus

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RE: Flußintegral
Hallo Blub,

das prinzipielle Vorgehen beschreibst du richtig. Welchen Normalenvektor du nimmst, hängt davon ab, wie du deine Fläche parametrisierst und damit letztendlich davon in welcher Richtung durch die Fläche du den Fluss zählen möchtest. Die jeweiligen Ergebnisse unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen (es reicht also nur das Vorzeichen beim Endergebnis zu ändern, wenn du den Fluss durch die Fläche in anderer Richtung haben möchtest).

Ein Ergebnis von 0 würde mich eher überraschen, am Besten zeigst du dazu einmal deinen Rechengang.

Grüße Abakus smile

12.04.2006, 20:16

nschlange

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Fällt bei Dir schon das Skalarprodukt weg?

12.04.2006, 21:00

Abakus

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Zitat:

Original von nschlange
Fällt bei Dir schon das Skalarprodukt weg?

Nein, fällt nicht weg soweit ich das überblicke.

Grüße Abakus smile

12.04.2006, 21:22

Blub

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Ich hatte es nur bis zum unbestimmten Integral ausgerechnet und hab dann gedacht, dass es durch die Grenzen -1 und 1 sich zu 0 aufhebt.

Habs in Mathematica nochmal schnell nachgerechnet. Da kamm dann -8/3 raus. Wenn ich das Vorzeichen beim Flächenelement ändere, sodass es nach außen zeigt kommt bei mir 8/3 raus. Es hat sich also nur das Vorzeichen geändert.

Kann das jemand bestätigen? Bin bei meinen Ergebnissen immer sehr skeptisch ;-)

12.04.2006, 21:23

nschlange

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Hi, die Frage war eigentlich an Blub gerichtet.
Ich hab einen Ausdruck in u und v raus.

mfg nschlange

12.04.2006, 21:47

Abakus

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$\begin{eqnarray*} -\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ sieht gut aus Freude

. Es bietet sich allerdings an, sich mit dem Rechenweg zu beschäftigen.

Grüße Abakus smile

12.04.2006, 22:21

nschlange

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ja, wenn man die grenzen einsetzt Hammer

13.04.2006, 14:24

Blub

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Zitat:

Original von Abakus
Es bietet sich allerdings an, sich mit dem Rechenweg zu beschäftigen.

OK, ich schreib das Ganze mal als Kochrezept: (Ich benutze aus Platzgründen mal Zeilenvektoren, auf dem Blatt stehen die als Spaltenvektor)
Ich setzte in das Vektorfeld die Werte aus der Parametrisierung ein:
a(r)=(x,z,y)=>(u,(u²+v²),v)
Die Ableitungen der Parametrisierung bringen mir 2 Vektoren, die in der Fläche sind:
$\begin{eqnarray*} D_{u}\gamma=(1,0,2u); D_{v}\gamma=(0,1,2v) \end{eqnarray*}$
Jetzt bilde ich das Kreuzprodukt, damit ich einen Vektor bekomme, der Senkrecht auf der Fläche steht:
Bei mir kommt da (-2u,-2v,1) raus (Dieser zeigt nach Innen)
(Kurze Zwischenfrage: Ich weiß nicht ob man den Vektor normalisieren muss. In den Büchern hab ich nichts gefunden, allerdings könnte man doch beliebige Vektoren benutzen, sodass das Flächenelement nicht eindeutig ist. Diese Stelle versteh ich nicht so ganz)
Jetzt bilde ich das Skalarprodukt zwischen diesem Vektor und dem Vektorfeld, um die einzelnen "Intensitäten" zu bestimmen. Ergibt:
-2u²-2vu²-2v³+v
Um den Fluß zu bekommen Integriere ich:
NIntegrate[-2u²-2vu²-2v³+v, {v,-1,1}, {u,-1,1}]
Da kommt dann -8/3 raus.
Soviel dazu.

--------------------------------------------------

Ich hab jetzt aber noch ein weiteres Problem. Ich will das Ganze jetzt mit der Theorie der Differentialformen berechnen. Dadurch, dass ich ja schon alles hab muss ich mir nur eine passende 2-Form basteln, damit ich auf dasselbe Integral komme. Ich weiß nur nicht wie ich das machen soll.

Um da etwas reinzukommen, würde ich hier gern ein Beispiel aus dem Barner Flohr zitieren. Dort ist eine 2-Form und eine Parametrisierung gegeben:
2-Form: $\begin{eqnarray*} \omega=x_{1}dx_{2}\wedge dx_{3}-x_{2}dx_{1}\wedge dx_{3}+x_{3}dx_{1}\wedge dx_{2} \end{eqnarray*}$
Parametrisierung: $\begin{eqnarray*} \gamma (t_{1},t_{2})=(t_{1},t_{2},\sqrt{1-t_{1}^{2}-t_{2}^{2}}) \end{eqnarray*}$

Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} D_{1}\gamma (t)=(1,0,-\frac{t_{1}}{\sqrt{1-t_{1}^{2}-t_{2}^{2}}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{2}\gamma (t)=(0,1,-\frac{t_{1}}{\sqrt{1-t_{1}^{2}-t_{2}^{2}}}) \end{eqnarray*}$

Das ergibt:
$\begin{eqnarray*} dx_{1}=dt_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx_{2}=dt_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx_{3}=\frac{1}{\sqrt{1-t_{1}^{2}-t_{2}^{2}}}(t_{1}dt_{1}+t_{2}dt_{2}) \end{eqnarray*}$

und somit:
$\begin{eqnarray*} dx_{2}\wedge dx_{3}=\frac{t_{1}}{\sqrt{1-t_{1}^{2}-t_{2}^{2}}} dt_{1}\wedge dt_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx_{1}\wedge dx_{3}=-\frac{t_{2}}{\sqrt{1-t_{1}^{2}-t_{2}^{2}}} dt_{1}\wedge dt_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx_{1}\wedge dx_{2}=dt_{1}\wedge dt_{2} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die 2-Form ergibt das:
$\begin{eqnarray*} \omega = \frac{t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+(1-t_{1}^{2}-t_{2}^{2})}{\sqrt{1-t_{1}^{2}-t_{2}^{2}}} dt_{1}\wedge dt_{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man ein Doppelintegral bilden und dann fallen auch die $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ -Produkte weg und man ist fertig.

Wie komm ich aber in meinem Fall, sozusagen rückwirkend, auf die 2-Form?

Danke ür Eure Hilfe!

PS: Sieht ganz schön wild aus, dabei müsste es doch ganz einfach sein.

13.04.2006, 23:58

Abakus

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Erster Teil ok. Wie man genau auf die 2-Form kommt, weiß ich nicht; ich kenne das so als Definition des Oberfllächenintegrals. Sehr salopp möchte ich sagen, dass die 3 Komponenten des Normalenvektors bzw. des Flussintegrals den 3 Summanden der 2-Form entsprechen.

Vielleicht kann dazu jemand anders noch was sagen.

Grüße Abakus smile

15.04.2006, 15:47

Blub

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Zitat:

Original von Abakus
Erster Teil ok.

D.h. man muss nichts normalisieren?

Ich hab die Aufgabe jetzt mal so gerechnet wie die Beispielaufgabe im Barner Flohr und wenn ich es vergleiche kommt folgende 2-Form raus:
$\begin{eqnarray*} \omega=x_{1}dx_{2}\wedge dx_{3}-x_{3}dx_{1}\wedge dx_{3}+x_{2}dx_{1}\wedge dx_{2} \end{eqnarray*}$
Also scheint es doch ganz einfach zu sein auf die 2-Form zu kommen.

16.04.2006, 01:33

Abakus

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Normalisieren brauchst du den Normalenvektor nicht. Nur wenn du das Integral mit dem Oberfllächenelement $\begin{eqnarray*} d\sigma \end{eqnarray*}$ schreibst, steht da der Einheitsnormalenvektor (was sich im Rechengang gelegentlich anbietet).

Die Rechnung vom Barner/Flohr könntest du mal posten. Die 2-Form ist jedenfalls eine andere als die, die du weiter oben hast.

Grüße Abakus smile

17.04.2006, 20:24

Blub

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Zitat:

Original von Abakus
Die Rechnung vom Barner/Flohr könntest du mal posten.

Die hab ich doch gepostet. Die Rechnung, die ich oben hingeschrieben hab (Die mit dem Vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma (t_{1},t_{2}) \end{eqnarray*}$ ) ist 1:1 aus dem Barner.

Zurück zu meiner Aufgabe:
Die 2-Form auf die ich gekommen bin ist leider eine andere wie die, die ich geposet hab. Nämlich:
$\begin{eqnarray*} \omega=x_{1}dx_{2}\wedge dx_{3}+x_{3}dx_{1}\wedge dx_{3}+x_{2}dx_{1}\wedge dx_{2} \end{eqnarray*}$

Das Minus hat sich durch das kopieren von Oben reingeschlichen. Die $\begin{eqnarray*} x_{1-3} \end{eqnarray*}$ korrespondieren dabei direkt mit dem Vektorfeld.

17.04.2006, 23:06

Abakus

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OK, du hast eine andere 2-Form als die im Barner-Flohr. Um da jetzt was zu zu sagen, müsste ich wissen, wie du auf diese Form gekommen bist. Wie also ist deine Herleitung?

Grüße Abakus smile

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