Zusammenhängende Menge

12.04.2006, 17:08

Sunwater

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Zusammenhängende Menge

Hi...

ich soll folgendes zeigen:
M ist eine zusammenhängende Teilmenge eines metrischen Raumes (V,d)
jetzt sei N mit $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \subseteq \bar{M} \end{eqnarray*}$ eine weitere Menge - ich soll zeigen, dass N dann auch zusammenhängend ist.
( $\begin{eqnarray*} \bar{M} \end{eqnarray*}$ bezeichnet den Abschluss von M).

Von der Vorstellung her ist es klar, weil ich habe ja schon eine zusammenhängende Menge und nehme nur noch ein paar Randpunkte der Menge mit dazu - klar, dass diese Randpunkte dann mit der restlichen Menge zusammenhängen...

aber der Beweis fehlt mir.

Meine Beweisidee war folgende:

Angenommen N wäre nicht zusammenhängend, dann gibt es zwei offene, disjunkte, nichtleere Teilmengen von N, in die ich N aufteilen kann.
Diese Teilmengen müssten dann auch dafür sorgen, dass M nicht mehr zusammenhängend ist und somit Widerspruch. Aber ich finde diese beiden Teilmengen nicht.

12.04.2006, 17:11

JochenX

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Kannst du nicht einfacher einen einzelnen Punkt nehmen und annehmen, er sei sioliert?

Fall 1: der Punkt ist im Inneren von N, also in N, also.... klar
Fall 2: der Punkt liegt auf dem Rand..... usf.

!?

12.04.2006, 17:14

Sunwater

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heißt das, wenn ich nachweisen kann, dass es keine isolierten Punkte gibt habe ich gezeigt, dass die Menge zusammenhängend ist? - mir fehlt nämlich einfach eine Möglichkeit direkt zu zeigen, dass eine Menge zusammenhängend ist!

12.04.2006, 17:18

JochenX

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lass es mich vorsichtig formulieren, bei so etwas geht schnell der Vorstellungsgeist mit einem durch:

Da M zusammenhängend, ist insbesondere das Innere von M "ein Stück".
Und meines Erachtens kann man zeigen, dass jeder Punkt in N "an M hängt", genauer eben sogar am Inneren von M.

Und MEINES ERACHTENS sollte das "zusammenhängend" zeigen.

12.04.2006, 17:22

Sunwater

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genauso sehe ich das ja in meiner Vorstellung auch, das Problem ist es aber mathematisch zu begründen, dass der Rand mit den Inneren Punkten zusammenhängt.

12.04.2006, 17:24

JochenX

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nö, wie habt ihr denn zusammenhängend definiert?
ich vermute, dass in jeder Epsilonkugel um das eine, ein Punkt des anderen.....

das ist aber eigentlich direkt aus der Definition von Rand ablesbar......

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12.04.2006, 17:33

Sunwater

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wir haben zusammenhängend so definiert, dass sich die Menge nicht in zwei offene, disjunkte, nichtleere Mengen zerlegen lässt - aber das zu zeigen ist doch kacke - das eignet sich höchstens für Widerspruchsbeweise!

12.04.2006, 17:41

JochenX

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Hmmmm, dann sollte sich vielleicht doch einer der Anaprofis dazu äußern
mir ist die Def. so nämlich irgendwie komisch, weil das bei abgeschlossenen Mengen meines Erachtens nie geht....

12.04.2006, 17:43

Sunwater

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doch das geht:

Nimm einfach das Intervall:

[0,10] und nimm den Punkt 5 raus... - dann hast du eine abgeschlossene Menge, die nicht zusammenhängend ist.

Man kann es auch so definieren, dass sich die Menge nicht in zwei abgeschlossene, disjunkte, nichtleere Mengen zerlegen lässt.

12.04.2006, 17:48

JochenX

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Zitat:

wir haben zusammenhängend so definiert, dass sich die Menge nicht in zwei offene, disjunkte, nichtleere Mengen zerlegen lässt

Sei die Menge [0,1] vereinigt mit [2,3], nicht zusammenhängend (anschaulich!)
lässt sich aber auch nicht in zwei offene, disjunkte usf., oder?

12.04.2006, 17:51

Sunwater

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ist das komplette Intervall nicht immer abgeschlossen und offen zugleich?

wenn nicht beachte die zweite Definition:

es ist auch ok, wenn man es statt in offene in abgeschlossene Teilmengen zerlegen kann!

12.04.2006, 18:19

JochenX

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ein [...] Intervall ist abgeschlossen, die Ränder sind ja mit bei

wenn die Zerlegung nur in offene ODER abgeschlossene mengen erfolgen darf....
[0,1) vereinigt (2,3]....

aber das wird Offtopic bzgl. deiner Ursprungsfrage, tut mir leid.

12.04.2006, 18:47

Abakus

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Zitat:

Original von Sunwater
wir haben zusammenhängend so definiert, dass sich die Menge nicht in zwei offene, disjunkte, nichtleere Mengen zerlegen lässt ...

Genau richtig (bzgl. der Relativtopologie betrachtet allerdings). Ich stelle mal eine Beweisidee zur Diskussion:

Angenommen N ist nicht zusammenhängend, dann existieren offene, nichtleere Mengen L, K, die N trennen: $\begin{eqnarray*} L \cup K = N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L \cap K = \O \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sollte die Voraussetzung eingehen: Da $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} M \subseteq L \cup K \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} M \cap L~\mbox{und}~M \cap K \end{eqnarray*}$ sind bzgl. der Relativtopologie (auf M) offen und bilden damit eine offene, disjunkte Zerlegung von M. Da M zusammenhängend ist, geht das nur, wenn eine dieser Mengen leer ist.

Es gelte o.E. $\begin{eqnarray*} M \cap L = \O \end{eqnarray*}$ . Dann ist das Komplement von L eine abgeschlossene Obermenge von M (wegen letzter Gleichung Obermenge und abgeschlossen, weil L ja offen ist).

Damit haben wir: $\begin{eqnarray*} M \subseteq N \subseteq \overline{M} \subseteq L^c \end{eqnarray*}$ . Nun muss aber auch $\begin{eqnarray*} L \cap N = \O \end{eqnarray*}$ gelten, was ein Widerspruch zur Annahme ist.

Grüße Abakus smile

smile

EDIT: Kritischer Punkt ist hier der Umgang mit der Relativtopologie.

12.04.2006, 20:16

Sunwater

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was ist eine Relativtopologie? ( bin erst zweites Semester - wir hatten Topologie immer nur kurz um Grenzwerte und so über metrischen Räumen zu definieren... )

aber ich hab deine Schlussweise verstanden und finde sie gut Freude

Freude

danke vielmals!

P.S. Ich hab noch ne andere Aufgabe, bei der ich zu einer konkreten Menge zeigen soll, dass sie zusammenhängend ist... - gibt es da einen Weg ohne die Zerlegung in Teilmengen?

12.04.2006, 20:50

Abakus

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Ohne Relativtopologie müsstest du Zusammenhang so definieren:

M zusammenhängend $\begin{eqnarray*} :\Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ es gibt keine offenen Mengen K, L mit $\begin{eqnarray*} (K \cap M) \cup (L \cap M) = M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (K \cap M) \cap (L \cap M) = \O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (K \cap M) \neq \O \neq (L \cap M) \end{eqnarray*}$ .

In dem Fall ist die gesamte Idee auf diese Sichtweise umzustellen (da tauchen dann noch ein paar Klippen in der Beweisidee auf Big Laugh

Big Laugh

).

Ansonsten kriegst du zB die unzusammenhängende Menge $\begin{eqnarray*} [0, 5[ ~\cup ~]5, 10] \end{eqnarray*}$ nämlich nicht zerlegt (ähnlich wie in der Diskussion vorher bereits).

Eine Relativtopologie ist die Topologie, die durch "Runterschneiden" der offenen Mengen auf eine Teilmenge entsteht.

Wie du Zusammenhang sonst zeigst... hängt sicher von dem ab, was ihr gemacht habt. Eine Idee ist etwa, dass Zusammenhang eine Invariante unter stetigen Abbildungen ist.

Grüße Abakus smile

smile

07.05.2018, 12:43

Statista

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Warum ist im ersten Lösungsvorschlag von Aabakus der Abschluss von M eine Teilmenge vom Komplement von L?

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