Stetigkeit von sqrt(x)

12.04.2006, 17:51

Daktari

Stetigkeit von sqrt(x)

Hi, ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig ist

stetig in $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x-y|=|x-0|=|x|< \delta =\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |{\sqrt x}-{\sqrt 0}|=|{\sqrt x}|<|x|<\epsilon \end{eqnarray*}$ fertig

sei $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |{\sqrt x}-{\sqrt y}|=|{\sqrt x}-{\sqrt y}|*\frac{|{\sqrt x}+{\sqrt y}|}{|{\sqrt x}+{\sqrt y}|}=\frac{|x+y|}{|{\sqrt x}+{\sqrt y}|}\leq \frac{\delta}{|{\sqrt x}+{\sqrt y}|}\leq \frac{\delta}{\sqrt x} \end{eqnarray*}$

Wie gehts nun weiter? Hab mal gelesen, dass die Funktion glm. stetig ist mit $\begin{eqnarray*} \delta={\epsilon}^2 \end{eqnarray*}$ . Aber wenn ich Delta so wählen würde, dann steht doch $\begin{eqnarray*} \frac{{\epsilon}^2}{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ da. Ich erkenne nicht, warum das kleiner als Epsilon sei. Ahbe ich vorhin falsch abgeschätzt ?

12.04.2006, 18:05

Mathespezialschüler

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Hallo!
Sei o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} x\leq y \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} \delta=\varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für $\begin{eqnarray*} y-x<\delta \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y<x+\varepsilon^2\leq x+2\varepsilon\sqrt{x}+\varepsilon^2=(\sqrt{x}+\varepsilon)^2 \end{eqnarray*}$ .

Hilft das weiter?

Gruß MSS

12.04.2006, 18:42

Daktari

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Hallo!
Sei o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} x\leq y \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} \delta=\varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für $\begin{eqnarray*} y-x<\delta \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y<x+\varepsilon^2\leq x+2\varepsilon\sqrt{x}+\varepsilon^2=(\sqrt{x}+\varepsilon)^2 \end{eqnarray*}$ .

Hilft das weiter?

Gruß MSS

Meinste so
$\begin{eqnarray*} |{\sqrt x}-{\sqrt y}|\leq|{\sqrt x}-{\sqrt {(\sqrt{x}+\varepsilon)^2}}| =|{\sqrt x}-{\sqrt x}-\epsilon|=|\epsilon|=\epsilon \end{eqnarray*}$ ?

13.04.2006, 19:18

Mathespezialschüler

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Naja, du solltest das Ganze ohne Beträge schreiben. So sieht die Abschätzung nämlich sehr komisch aus. Aber im Prinzip ist es einfacher ...

$\begin{eqnarray*} y<(\sqrt{x}+\varepsilon)^2\Rightarrow \sqrt{y}<\sqrt{x}+\varepsilon\Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{y}|=\sqrt{y}-\sqrt{x}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

20.03.2021, 17:00

HiBee123

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RE: Stetigkeit von sqrt(x)
Hallo kleiner Tippfehler smile

$\begin{eqnarray*} | \sqrt{x}-\sqrt{y} | * \frac{| \sqrt{x}+\sqrt{y} | }{| \sqrt{x}+\sqrt{y} | }= \frac{| x-y | }{| \sqrt{x}+\sqrt{y} | } \end{eqnarray*}$

Gruss

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