Zufallsvektoren (Verteilungsfunktion)

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aRo Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvektoren (Verteilungsfunktion)
Guten Abend!

Ich habe noch Probleme mit Zufallsvektoren. Ich glaube im 1-dimensionalen habe ich das mit den Dichtefunktionen und Verteilungsfunktionen einigermaßen drauf, aber die Zufallsvektoren verwirren mich noch.

Nehmen wir z.B. mal sowas hier:

Die Dichtefunktion des Zufallsvektors (X,Y) mit Werten im |R^2 sei definiert durch:



Nehmen wir mal an, ich hätte herausgefunden, dass c=1/12 ist.
Ich würde jetzt gerne zur eigenen Übung mal die Verteilungsfunktion dieses Zufallsvektors bestimmen.

Wenn ich das richtig verstehe, dann muss ich sowas bestimmen wie:

richtig?

Wenn ich das ausrechne, erhalte ich:


Da die beiden Variablen ja gleichverteilt sind, würde dann die Verteilungsfunktion F vermutlich lauten:



Was ist denn hier, wenn zB x zwischen 0 und 2 wäre, aber y nicht?
Wäre das wirklich alles null?

Guckt mal bitte drüber. Wie gesagt, diese Zufallsvektoren sind mir noch nicht ganz geheuer!

Danke!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine zweidimensionale Verteilungsfunktion muss insbesondere auch folgendes erfüllen:

ist monoton wachsend für alle
ist monoton wachsend für alle

Schon das verletzt die von dir angegebene Funktion. Die richtige VF zu deiner Dichte ist



Ich spare mir mal weitere Erklärungen - wenn du dir das genau anschaust, wirst du selbst das Konstruktionsprinzip begreifen.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

guten Abend Arthur!

Okay, also wenn ich das richtig sehe, scheinst du für y>2 y=2 einzusetzen und entsprechendes für x>2.

Jetzt ist mir aber nur vage klar warum. Ich versuchs mal zu erklären, wie ich mir das denke:

gibt ja die Wahrscheinlichkeit P(X<=x,Y<=y) an.
Bei stochastischer Unabhängigkeit und gegebenen einzelnen Verteilungsfunktionen dürfte ich das hinkriegen ;-)

Aber jetzt so:

Nehmen wir an y wäre 3. Dann wäre die Wahrscheinlichkeit P(X<=x,Y<=y) für alle Werte 2<Y null. Das heißt ich kann direkt y=2 in der Verteilungsfunktion betrachten.

Hm...also irgendwie ist es mir nur so vage klar. Vielleicht kannst du doch nochmal probieren, dass verständlich zu erklären smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
Nehmen wir an y wäre 3. Dann wäre die Wahrscheinlichkeit P(X<=x,Y<=y) für alle Werte 2<Y null. Das heißt ich kann direkt y=2 in der Verteilungsfunktion betrachten.

Genauso stimmt es! Es ist doch z.B.



einfach deswegen, weil ja die Werte bei deiner Dichte gar nicht auftreten können! Die Bedingung an bleibt aber nach wie vor erhalten. Überhaupt entspricht diese Wahrscheinlichkeit dann auch dem Randverteilungswert , d.h., spielt gar keine Rolle mehr, weil keine Einschränkung mehr darstellt.

Ich hoffe, der Knoten im Gehirn löst sich langsam.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ok, vielleicht nochmal um sicher zu gehen und das Verständnis zu festigen:

Nehmen wir an, ich würde die Verteilungsfunktion nicht kennen, müsste also an der Dichtefunktion folgende Wahrscheinlichkeiten ablesen:


Und z.B.

Wie würde ich bepielsweise mit der VERTEILUNGSFUNKTION folgende Wahrscheinlichkeit bestimmen:

? Unter der Voraussetzung, dass ich nicht wüsste, das beide Variablen stochastisch unabhängig sind.

Ginge das dann einfach so?


Aber wie z.B. hier (wie gesagt, ich weiß nicht ob stochastisch unabhängig):


Was genau bedeutet Randverteilung? Hat das was mit Randdichte zu tun?

Zu eben dieser wollte ich nämlich auch noch was fragen. Also bei der Randdichte erhalte ich diese ja durch Integration über alle anderen Variablen. Was genau aber besagt die Randdichte?
Also z.B. hier bei unserer Beispielaufgabe:

für x aus [0,2] und null sonst.
Was genau sagt mir das nun? Ich lasse Y ja nun sozusagen unbeachtet, bzw. integriere über die ganze mögliche Wahrscheinlichkeit. Ist das dann einfach die Verteilungsfunktion für die einzelne Zufallsvariable X?

So, das reicht erstmal!

aRo
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
Wie würde ich bepielsweise mit der VERTEILUNGSFUNKTION folgende Wahrscheinlichkeit bestimmen:

? Unter der Voraussetzung, dass ich nicht wüsste, das beide Variablen stochastisch unabhängig sind.

Ginge das dann einfach so?


Nein. Denk mal an de Morgan.

Zitat:
Original von aRo
Was genau bedeutet Randverteilung? Hat das was mit Randdichte zu tun?


http://de.wikipedia.org/wiki/Randverteilung

Zitat:
Original von aRo
für x aus [0,2] und null sonst.
Was genau sagt mir das nun? Ich lasse Y ja nun sozusagen unbeachtet, bzw. integriere über die ganze mögliche Wahrscheinlichkeit. Ist das dann einfach die Verteilungsfunktion für die einzelne Zufallsvariable X?


Ja.
 
 
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nein. Denk mal an de Morgan.


So meinst du?



Müsste ich jetzt für und extra die Randdichten bestimmen?
Wie gesagt, alles unter der Annahme, dass ich nicht wüsste, dass X und Y stochastisch unabhängig sind.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
So meinst du?



Korrekt.

Zitat:
Original von aRo
Müsste ich jetzt für und extra die Randdichten bestimmen?
Wie gesagt, alles unter der Annahme, dass ich nicht wüsste, dass X und Y stochastisch unabhängig sind.


Die Randdichte nicht, aber die Randverteilung Augenzwinkern
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

hm...also das mit der Randdichte habe ich nicht ganz verstanden.

Was ist jetzt die Randdichte und wozu ist die gut?

Was ist die Randverteilung und wozu ist sie gut?

Der Unterschied ist mir nicht klar.

Weil ich auch oben gesagt habe, wie ich die RANDDICHTE von x ausgerechnet habe (x/2) und gefragt habe, ob das nun die Verteilungsfunktion für die eindimensionale ZV x ist, und du ja gesagt hast. Aber dann müsste ich ja offensichtlich P(X<=1) damit ausrechnen können.

Anscheinend ist dem aber nun doch nicht so..


Wenn ich das richtig verstanden habe, finde ich die Randverteilung in der gemeinsamen Verteilungsfunktion jeweils in dem Fall, dass entweder x>2 oder y>2, richtig?

Achso...oder ist die RandDICHTE einfach nur die Dichtefunktion für die 1-dim. ZV und die RandVERTEILUNG die Verteilungsfunktion?
Wobei das dem was du oben gesagt hast, auch widersprechen würde... verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
Achso...oder ist die RandDICHTE einfach nur die Dichtefunktion für die 1-dim. ZV und die RandVERTEILUNG die Verteilungsfunktion?
Wobei das dem was du oben gesagt hast, auch widersprechen würde... verwirrt


Richtig. Wo siehst du einen Widerspruch?
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
Was genau bedeutet Randverteilung? Hat das was mit Randdichte zu tun?

Zu eben dieser wollte ich nämlich auch noch was fragen. Also bei der Randdichte erhalte ich diese ja durch Integration über alle anderen Variablen. Was genau aber besagt die Randdichte?
Also z.B. hier bei unserer Beispielaufgabe:

für x aus [0,2] und null sonst.
Was genau sagt mir das nun? Ich lasse Y ja nun sozusagen unbeachtet, bzw. integriere über die ganze mögliche Wahrscheinlichkeit. Ist das dann einfach die Verteilungsfunktion für die einzelne Zufallsvariable X?


du daraufhin: Ja.


So, ich habe das jetzt mal nachgeprüft, und einerseits bestätigt es jetzt, dass Randdichte und Randverteilung einfach eben nur Dichte und Verteilung sind, andererseits verwirrt es mich.

Also, die zwei Randdichten sollten ja lauten:

sowie


Wenn ich das integriere, erhalte ich auch die Verteilungsfunktionen aber genau "verdreht". Wenn ich die Randdichte zu y integriere, erhalte ich die Verteilungsfunktion von x. Das verstehe ich gerade nicht...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zufallsvektoren (Verteilungsfunktion)
Ja, OK, da habe ich mich durch deinen Beitrag verwirren lassen (so viele Fragen).

Zitat:
Original von aRo
richtig?


Hier hast du die Rollen von x und y vertauscht! Ich vermute, Arthur hat diesen Fehler übernommen. Wenn man nämlich



schreibt, stimmen die Ergebnisse mit denen in deinem letzten Beitrag überein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Hier hast du die Rollen von x und y vertauscht! Ich vermute, Arthur hat diesen Fehler übernommen.

Da vermutest du richtig: Ich habe einfach darauf vertraut, dass das von aRo im Intervall berechnete



schon stimmen wird - hier ist aber leider die Vertauschung schon drin.

Vertrauen ist gut, Kontrolle ... Hammer
aRo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zufallsvektoren (Verteilungsfunktion)
Hallo!

Ich bin die Aufgabe soeben noch einmal durchgegangen, und habe das soweit auch alles hingekriegt.

Allerdings habe ich natürlich wieder diesen Dreher drin Augenzwinkern

Und das liegt einfach daran, dass ich nicht verstehe, warum ich



betrachten soll, und nicht



Vielleicht liegt das daran, dass wir eigentlich noch nirgendwo über 2 Variablen integriert haben und das jetzt einfach in der Stochastik vorausgesetzt wurde.

Ich mache das dann so, dass ich sozusagen das innere Integral (hier im richtigen Fall: ) zuerst über u integriere und dann das äußere mache.

Also, kann mir vielleicht jemand verraten, wieso dieser Dreher zu Stande kommt, wenn ich so integriere, wie ich es gemacht habe? Ich habe jetzt nochmal Therisens Integral angeschaut und bekomme dann auch das richtige raus. Mir ist einfach nicht klar, woher ich vorher wissen soll, wie rum ich das Integral betrachte.

In unserem Buch steht:
Gilt ~ so erhält man die zugehörige Verteilungsfunktion durch:


Für mich ist das mein (falsches) Integral.... verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten leitet man sich die Formel einfacher jedes Mal her:



(Satz von Fubini)
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