Abstand der Geraden bestimmen

12.04.2006, 21:03	-=anni=-	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand der Geraden bestimmen Hi ! Ich hab mal wieder ein kleines Problem ... Wir sollen den Abstand und die Punkte des minimalen Abstands der folgenden Geraden bestimmen: $\begin{eqnarray} G1: v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \\ G2: v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \gamma * \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also, ich habe ein Problem mit der kompletten Aufgabe. Ich habe schon mal überlegt das ganze mit der Hesseschen Normalform zu probieren, aber ich weiß nicht wie ... Ich habe folgende Formel in meiner Formelsammlung dazu gefunden: x cos alpha + y * sin alpha = p Aber damit kann ich nicht so viel anfangen ... ist die Idee überhaupt richtig ? Ich wäre sehr dankbar wenn mir da jemand weiterhelfen könnte :-) -=anni=- P.S.: Bitte das </br> wegdenken ... das ist da irgendwie reingerutscht :-D edit (Abakus): keine Returns innerhalb von Latex-Klammern, benutze \\ ** Thema verschoben in das Geometrie-Forum **
12.04.2006, 22:07	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand der Geraden bestimmen Durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bekommst du einen Vektor mit dem du die HNF (Hesse'sche NF) einer Ebene aufstellen kannst, in der eine der Geraden liegt und die parallel zu der anderen Geraden ist. Wenn du die HNF hast, kannst du durch Einsetzen eines Punktes der parallelen Geraden immerhin schon mal den gesuchten Abstand bestimmen. Die Punkte minimalen Abstands kriegt man dann mit verschiedenen Methoden. Man könnte die parallele Gerade auf die schon berechnete Ebene projezieren und dann den Schnittpunkt beider Geraden ausrechnen. Aber vielleicht fällt jemand anderes noch eine praktischere Lösung ein. Grüße Abakus
12.04.2006, 22:12	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich arbeite dran. 10 min
12.04.2006, 22:34	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei F1 ein beliebiger Punkt auf g1 und F2 ein beliebiger Punkt auf g2: F1(1+n/2n/3n) F2(3k/1+2k/k). Der Verbindungsvektor ist dann $\begin{eqnarray} \vec{F1F2} = \begin{pmatrix} 1+n-3k \\ 2n-(1+2k) \\ 3n-k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+n-3k \\ 2n-1-2k \\ 2n-k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Abstand von zwei Geraden ist immer der kürzeste Weg. Und den kürzesten Weg erhält man genau dann, wenn der Verbindungsvektor senkrecht zu beiden Geraden steht. Andernfalls wäre der Weg länger und würde nicht dem entsprechen, was man unter dem "Abstand zweier Geraden" versteht. Also, der Verbindungsvektor oben beschreibt den Weg von einem Punkt von g1 zu einem von g2. Nun muss geschaut werden, für welche Werte von n und k es genau der Weg ist, für den wir einen rechten Winkel zu beiden Geraden haben. Dazu muss das Skalarprodukt mit jeweils beiden Richtungsvektoren 0 ergeben. Das heißt wir haben 2 Bedingungen: 1. Bedingung (rechter Winkel mit g1): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1+n-3k \\ 2n-1-2k \\ 3n-k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 14n - 10 k = 1 \end{eqnarray}$ 2. Bedingung (rechter Winkel mit g2: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1+n-3k \\ 2n-1-2k \\ 3n-k \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 10n-14k = 1 \end{eqnarray}$ wir haben also mit den beiden Bedingungen das Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 14n-10k=1 \\ 10n-14k=-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ und wenn man das löst erhält man $\begin{eqnarray} n = 0,25 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k = 0,25 \end{eqnarray}$ Für n = 0,25 und k = 0,25 ist der oben stehende Verbindungsvektor also senkrecht zu beiden Geraden (und stellt somit die kürzeste Verbindung dar ). Die länge dieses Vektros ist der kürzeste Abstand der beiden Geraden. $\begin{eqnarray} d = \mid \begin{pmatrix} 1+0,25-30,25 \\ 20,25-1-20,25 \\ 30,25-0,25 \end{pmatrix} \mid = \sqrt{1,5} \end{eqnarray*}$
12.04.2006, 22:38	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 3\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ liefert mit t und r die beiden punkte P auf g1 und Q auf g2. und d=d(PQ) ist der gesuchte abstand $\begin{eqnarray} d=\frac{1}{2}\sqrt{6} \end{eqnarray}$ . werner.
12.04.2006, 22:44	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
P.S. Die Punkte, die du ja auch bestimmen musst, erhältst du dann, wenn du in F1(1+n/2n/3n) F2(3k/1+2k/k) n = 0,25 und k = 0,25 (Lösung des Gleichungssystems oben) einsetzt.
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18.04.2006, 21:51	-=anni=-	Auf diesen Beitrag antworten »
Super ! Vielen Dank !!
18.04.2006, 21:57	incas	Auf diesen Beitrag antworten »
kein Problem. Wenn du die Punkte mit dem kürzesten Abstand nicht angeben muss, gibt es noch einen viel schnelleren Weg. Dazu stellt man eine Hilfsebene H auf. Sie soll eine Gerade vollständig enthalten und parallel zu der anderen sein. Also eine Gerade nehmen und den Richtungsvektor der anderen "dranhängen". Dann nimmst du einen beliebigen Punkt derjenigen Gerade, deren Richtungsvektor "drangehangen" wurde und bestimmst den Abstand zu H. (--> Abstand Punkt Ebene)

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