Substitution

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12.04.2006, 21:08

k_wolt

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Substitution

weiß hier vielleicht jemand weiter?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1+x²}}~dx \end{eqnarray*}$

12.04.2006, 21:27

bounce

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mhh wähle z= 1+x^2 dann ist z'=2x

= $\begin{eqnarray*} = \int_{b}^{a}~\frac{1}{ \sqrt{1+x^2} }~dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} = \int_{b}^{a}~\frac{1}{ \sqrt{z}}~\cdot\frac{dz}{2x} \end{eqnarray*}$

weißt du jetzt weiter ?? ^^

mfg bounce

12.04.2006, 21:42

mercany

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Die Substitution wird nicht aufgehen.

Substituiere $\begin{eqnarray*} x = \sinh z \end{eqnarray*}$ und benutze $\begin{eqnarray*} \cosh^2 z - \sinh^2 z = 1 \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

12.04.2006, 21:49

bounce

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okay diese art von Substitution kenn ich nicht ^^ mhh ich vwerde mal weiter hier gucken du kannst übernehmen ^^

mfg bounce

12.04.2006, 21:53

mercany

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Du kannst ja gerne mal versuchen mit deiner Substitution zu lösen. Augenzwinkern

LG, mercany

12.04.2006, 22:14

k_wolt

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ah, jetzt habe ich es raus. Ich komme auf z, was ja dann arsinh(x) ist. Danke

13.04.2006, 08:21

klarsoweit

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RE: Substitution

Zitat:

Original von k_wolt
weiß hier vielleicht jemand weiter?
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}~dx \end{eqnarray*}$

Eine andere Alternative geht so:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}~dx = \int_{}^{}~\frac{x+\sqrt{x^2 + 1}}{x+\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{}^{}~\frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x+\sqrt{x^2 + 1}}~dx \end{eqnarray*}$

Entweder erkennt man jetzt, daß im Zähler die Ableitung vom Nenner steht, oder man macht die Substitution:
$\begin{eqnarray*} z = x + \sqrt{x^2 + 1} \end{eqnarray*}$

13.04.2006, 12:53

mercany

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Zitat:

Original von k_wolt
ah, jetzt habe ich es raus. Ich komme auf z, was ja dann arsinh(x) ist. Danke

Soll das dein Ergebniss darstellen verwirrt

@klarsoweit
Der Weg ist natürlich sehr elegant und ich hatte gehofft, dass du das noch postest Augenzwinkern

Soweit ich mich entsinne, hab ich das nämlich schon einige male gelesen (und habs mir gleich mal notiert gehabt).

Gruß, mercany

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