Abstand eines Punktes von einer Geraden

13.04.2006, 06:25

Stefan G.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Hallo,

ich habe in kleines Problem mit einer Aufgabe. Gegeben ist ein Punkt R(x1| x2| x3) und eine Gerade in Parameterform x1 = (x1, x2, x3) * t(y1, y2, y3).

Ich weiß nun wie sich mthilfe der zu g orthogonalen Ebene E durch R der Abstand berechnen lässt. Doch ich krieg den umgekehrten Fall nicht hin. Das heißt wie kann ich auf den Punkt schließen, wenn die Geradengleichung und der Abstand gegeben sind? verwirrt

Danke!

13.04.2006, 07:41

incass

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Es gibt unendlich viele solcher Punkte. Du musst dir einen Vektor überlegen, der senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden ist. Diesen dann normieren (auf die Länge 1 bringen) und rechnen:

$\begin{eqnarray*} \vec{0P'} = \vec{0P} + d * \vec{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ist der normierte, zum Richtungsvektor der Geraden senkrechte Vektor.

13.04.2006, 08:21

Stefan G.

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Zitat:

Original von incass
Es gibt unendlich viele solcher Punkte. Du musst dir einen Vektor überlegen, der senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden ist. Diesen dann normieren (auf die Länge 1 bringen) und rechnen:

$\begin{eqnarray*} \vec{0P'} = \vec{0P} + d * \vec{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ist der normierte, zum Richtungsvektor der Geraden senkrechte Vektor.

Hi incass,

ich hatte mich leider ein wenig unklar ausgedrückt. Natürlich sind in so einem Falle unendlich viele Punkte mit dem spezifischen Abstand vorhanden. Aber nehmen wir einmal an auf der Geraden liegt ein Punkt dessen Koordinaten bekannt sind. Das ist dann quasi der Fußpunkt. Geht man davon aus das die Gerade in R2 liegt, so gibt es nur 2 Punkte die in Frage kommen. Doch wie kann ich diese ausrechnen?

13.04.2006, 08:23

incass

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das geht genauso wie oben. Am Besten gibts du mal ein Beispiel!

13.04.2006, 08:40

Stefan G.

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Zitat:

Original von incass
das geht genauso wie oben. Am Besten gibts du mal ein Beispiel!

Ok, ich begrenze das mal auf R2. Die Gerade r = (0, 1) + t(3, 3) und der Punkt Q mit den Koordinaten (3, 4) der auf dieser geraden liegt, sind gegeben. Q ist der Fußpunkt auf dem ein senkrecht auf der Gerade liegender Vektor steht. Der Abstand beträgt 3. Nun benötige ich die Koordinaten des Punktes. Theoretisch müssten es zwei sein.

13.04.2006, 09:21

incass

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Also wie gesagt: Du musst den Vektor, der senkrecht zu g ist normieren (damit er die Länge 1 hat) und dann 3 LE, auf den Ortsvektor von Punkt Q draufrechnen.

Ein Vektor, der zu dem Richtungsvektor der Gerade senkrecht ist, ist

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist normiert:

$\begin{eqnarray*} \vec{a'} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} * \frac{1}{\sqrt{18} } \end{eqnarray*}$

Nun kann man sich diesen Vektor sowohl links von Q, als auch rechts von Q "3 mal angehängt" vorstellen.

$\begin{eqnarray*} \vec{0P'}= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \frac{3}{18}*\begin{pmatrix} -3\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0,883\\ 6,12\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{0P'}= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \frac{3}{18}*\begin{pmatrix} 3\\ -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5,12\\ 1,88\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beachte, dass die Ergebnisse nur gerundet sind.

13.04.2006, 09:26

Dual Space

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Zitat:

Original von incass
$\begin{eqnarray*} \vec{0P'}= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \frac{3}{18}*\begin{pmatrix} -3\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0,883\\ 6,12\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{0P'}= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \frac{3}{18}*\begin{pmatrix} 3\\ -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5,12\\ 1,88\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du hast jeweils bei der 18 die Wurzel vergessen. Augenzwinkern

13.04.2006, 09:30

riwe

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zu g senkrechte gerade durch Q, den richtungsvektor normieren und mit der gewünschte länge multiplizieren:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{x} _{1,2}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \pm\frac{3}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
werner

13.04.2006, 09:32

Stefan G.

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Danke an euch beide! Freude