Unterschied zwischen Euklidischer Norm und dem normalen Betrag?

13.04.2006, 09:33

Simeon

Unterschied zwischen Euklidischer Norm und dem normalen Betrag?

Hi Leute,
ich wollte mal fragen wo denn der Unterschied zwischen der Euklidischen Norm also der "natürlichen" Länge eines Vektors und der normalen Länge eines Vektors sprich seinem Betag ist. Denn laut Wiki ist die E. Norm durch:

http://upload.wikimedia.org/math/2/8/8/288ec7fb3dd39be85c5823d8cfa7bdfe.png
definiert. Denn die Betragsstriche kann man sich doch wegen dem ² dahinter schenken und damit hat man dann ja die Gleichung eines ganz normalen Betrags eines Vektors. verwirrt

mfg
Simeon

13.04.2006, 09:36

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Unterschied zwischen Euklidischer Norm und dem normalen Betrag?

Zitat:

Original von Simeon
Doch die Betragsstriche kann man sich doch wegen dem ² dahinter schenken und damit hat man dann ja die Gleichung eines ganz normalen Betrags eines Vektors. verwirrt

Aber was ist, wenn die Komponenten des Vektors komplex sind? *zubedenkengeb* Augenzwinkern

13.04.2006, 09:38

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in diesem Fall ist es dasselbe. Aber bei der p=3-Norm z.B. machen die Betragsstriche wieder Sinn...

mfg, phi

13.04.2006, 09:42

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Unterschied zwischen Euklidischer Norm und dem normalen Betrag?
Simeon: Eigentlich ist die Eukidische Norm die "normale" Norm eines Vektors. Da aber in der Schule meist im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gerechnet wird, werden die Betragsstriche aber überflüssig und daher weggelassen (hast du ja selber bemerkt). Da im allgemeinen aber die Euklidische Norm auch für Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ gilt, müssen sie halt mit hin. Klar? Wink

13.04.2006, 09:46

Simeon

Auf diesen Beitrag antworten »

@Dual Space
Also ich hab eigentlich keine Ahnung von komplexen Zahlen, aber eigentlich müsste auch für komplexe Zahlen beides gleich sein, ansonsten müsste der zweite Betragsstrich doch immer hinter dem ² stehen damit die komplexen zahlen....öhm...nichtmehr komplex sind *gg*

@phi
Sorry aber das versteh ich noch weniger *g*

Also dann will ich meine Frage mal anders stellen:
Seh ich es richtig, das die Euklidische Norm bei Vektoren des x,y,z Raumes (wobei x,y,z Element von den reellen Zahlen) gleich dem Betrag dieses Vektors ist? Wenn nicht, inw as unterscheiden sich dann die Ergebnisse?

Edit: Ah, Danke Dual Space, ja das hab ich Verstanden. D.h. dann ja, dass meine Vermutung richtig war Tanzen

13.04.2006, 09:52

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Simeon
@Dual Space
Also ich hab eigentlich keine Ahnung von komplexen Zahlen, aber eigentlich müsste auch für komplexe Zahlen beides gleich sein, ansonsten müsste der zweite Betragsstrich doch immer hinter dem ² stehen damit die komplexen zahlen....öhm...nichtmehr komplex sind *gg*

Bsp: $\begin{eqnarray*} (1+i)^2=2i \end{eqnarray*}$ , also immernoch komplex. Da die Norm aber was reelles erzeugen muss, müssen die Betragsstriche hin.

Zitat:

Seh ich es richtig, das die Euklidische Norm bei Vektoren des x,y,z Raumes (wobei x,y,z Element von den reellen Zahlen) gleich dem Betrag dieses Vektors ist? Wenn nicht, inw as unterscheiden sich dann die Ergebnisse?

In diesem Falle brauch man die Betragsstriche tatsächlich nicht! Dennoch ist der "Betrag" eines Vektors die Euklidische Norm.

Edit: Selber erkannt! Freude

13.04.2006, 09:59

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Die euklidische Norm (Länge) ist die 2-Norm.

Die 3-Norm ist (im IR^3 z.B)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{|x|^{3} +|y|^{3}+|z|^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{|-1|^{3} +|-2|^{3}+|-1|^{3}} =\sqrt[3]{10}\neq\sqrt[3]{-10}=\sqrt[3]{-1^{3} +(-2)^{3}+(-1)^{3}} \end{eqnarray*}$

Zur allgemeinen p-Norm siehe Wikipedia.

mfg

13.04.2006, 10:16

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit's keine Verwirrungen gibt: Natürlich meinst du $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{|x|^{3} +|y|^{3}+|z|^{3}} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sqrt{|x|^{3} +|y|^{3}+|z|^{3}} \end{eqnarray*}$ . Im Beispiel stimmt es ja dann auch.

13.04.2006, 11:04

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

moin Arthur! Yep, die eckige Klammer vergessen einzufügen.

Neue Frage »

Antworten »

Unterschied zwischen Euklidischer Norm und dem normalen Betrag?

Verwandte Themen