Wie funktioniert Tschebischow

13.04.2006, 10:47

MAX-NEUSS

Wie funktioniert Tschebischow

Hey ich versuche seit 40 Stunden Tschebischow zu verstehen es geht nicht, ich weiss einfach nicht was ich in der formel einsetzen soll?

Aufgabentext:

Umfrage soll Anteil p der Fachbesucher unter allen Messebesuchern bestimmen. Wieviele Personen müssen mindestens befragt werden, damit man den Anteil von p mit mindestens 80% sicherheit bis auf ne abweichung von weniger als 0.02 ermitteln kann!

ich bin völlig aufgeschmissen!

13.04.2006, 11:05

therisen

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Hallo MAX-NEUSS,

am besten du schreibst dir erstmal die Ungleichung für eine Bernoulli-Kette hin (Formelsammlung!):

$\begin{eqnarray*} P\left( \left | \frac{k}{n} - p \right| \geq \epsilon \right) \leq \frac{pq}{\epsilon^2n} \leq \frac{1}{4\epsilon^2n} \end{eqnarray*}$

Umstellen liefert:

$\begin{eqnarray*} P\left( \left | \frac{k}{n} - p \right| < \epsilon \right) \geq 1-\frac{1}{4\epsilon^2n} \stackrel{!}{\geq} 80% \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \epsilon=0.02 \end{eqnarray*}$ . So, und jetzt die rechte Seite der Ungleichung nach n auflösen...

Gruß, therisen

13.04.2006, 11:08

MAX-NEUSS

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ja aber ich habe keine ahnung was das

X, das K das N ist woher die 4 kommt,
ich verstehe das einfach niht, voll komisch!

In der foormelsammlung steht P(X-E>=e)
ja super X ist zufallsvariable aber was soll ich da einsetzen die hab ich doch nicht die ist doch zufällig!

ICH BIN ECHT AM ENDE, ich weiss nicht was ich in diese ganzen variabnlen einsetzen soll!!!!!

13.04.2006, 11:15

therisen

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Also das, was bei $\begin{eqnarray*} P(|\ldots|) \end{eqnarray*}$ steht, braucht dich nicht weiter zu interessieren.

Es gibt zwei Versionen von Tschebyschow, die beide zueinander äquivalent sind. Einmal die mit den absoluten Häufigkeiten (die du etwas falsch genannt hast), und einmal die mit den relativen Häufigkeiten (indem man die der absoluten Häufigkeit durch n dividiert). Letztere ist für diese Aufgabe sinnvoller. Warum, kannst du dir selbst überlegen.

Was du noch machen musst ist die folgende Ungleichung nach n aufzulösen:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{4\epsilon^2n} \stackrel{!}{\geq} 80% \end{eqnarray*}$

Das schaffst du, oder?

Zur Umformung oben: Es ist $\begin{eqnarray*} P(X \geq k)=1-P(X<k) \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

13.04.2006, 11:25

MAX-NEUSS

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hey,
ja ist jetzt etwas klarer geworden, wobei ich es immernoch nciht ganz verstehe!

P(X-y >= e) <= Var/e² oder so

soll da sie wahrscheinlichkkeit ausrechnen mit der die zufallsvariable vom erwartungswert um e abweicht.

und jetzt kommt der knüller: Das ist in der Aufgabe oben doch ÜBERHAUPT NICHT gefragt. das ist schon ein ziemliches ding dass die formel auch für beliebige fragen verwendet werden kann!

und das will nicht in meinen kopf!

13.04.2006, 11:58

therisen

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Zitat:

Original von MAX-NEUSS
und jetzt kommt der knüller: Das ist in der Aufgabe oben doch ÜBERHAUPT NICHT gefragt. das ist schon ein ziemliches ding dass die formel auch für beliebige fragen verwendet werden kann!

Naja, so würde ich das nicht sagen.

$\begin{eqnarray*} P(|X-E(X)| \geq \epsilon) \leq \frac{npq}{\epsilon^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow P\left(\left|\frac{X}{n}-\frac{E(X)}{n}\right| \geq \frac{\epsilon}{n}\right) \leq \frac{npq}{\epsilon^2} \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} \epsilon' := \frac{\epsilon}{n} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow P\left(\left|\frac{X}{n}-\frac{E(X)}{n}\right| \geq \epsilon'\right) \leq \frac{npq}{(n\epsilon')^2} = \frac{pq}{n\epsilon'^2} \end{eqnarray*}$

Berücksichtigt man nun, dass $\begin{eqnarray*} \frac{X}{n} = h_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{E(X)}{n} = \frac{np}{n} = p \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow P\left(\left|h_n-p\right| \geq \epsilon'\right) \leq \frac{pq}{n\epsilon'^2} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

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