Nullstellen erraten?!

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Isa Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen erraten?!
hey hab mal ne frage
soweit ich das mit der polynomdivison verstanden habe erhält man die erste nullstelle in dem man alle teiler des absolutengliedes ausprobiert....
so aber nun hab ich ein problem:
bei der Gleichung: f(X) = -1/8x^3 + 3/16 x^2 + 9/4 x - 2
sind die nullstellen -4; 0,86; 4,64 aber wie kommt man auf die -4????? verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

...=0 mit brüchen, keine Polynomgleichung mit ganzzhaligen koeffizienten, da ist nix mit Absolutglied....

erst mal die ganze Gleichung mal den Hauptnenner und DANN Teiler des Absolutgliedes versuchen.

Hier alles *16


es muss aber keine solche NST als Teiler geben, aber bei GRad 3 gilt:
keine NST in Z => keine NST in Q
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
erst mal die ganze Gleichung mal den Hauptnenner und DANN Teiler des Absolutgliedes versuchen.

Und trotzdem stimmt die Regel dann i.a. nicht, z.B. nicht bei .

Es müssen alle Koeffizienten ganzzahlig sein und der Koeffizient vor der höchsten Potenz gleich , dann erst kann man sicher sagen, dass jede rationale Nullstelle auch ganzzahlig ist und zudem ein Teiler des Absolutgliedes.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von LOED
erst mal die ganze Gleichung mal den Hauptnenner und DANN Teiler des Absolutgliedes versuchen.

Und trotzdem stimmt die Regel dann i.a. nicht, z.B. nicht bei .

Es müssen alle Koeffizienten ganzzahlig sein und der Koeffizient vor der höchsten Potenz gleich , dann erst kann man sicher sagen, dass jede rationale Nullstelle auch ganzzahlig ist und zudem ein Teiler des Absolutgliedes.

so stark sogar?

ich erinnere mich nur an Aussagen wie
Zitat:
sei R Ring, f irreduzibel in R[X] => f irreduzibel in Quot(R)[X]
, was hier auf R=Z und Quot(R)=Q zutrifft.
Wobei hier bei Grad 3 natürlich Reduzibilität und "hat eine NST" gleich ist....

Dein Beispiel hat Grad 1 und somit ist da mit Reduzibilität eh nicht viel....

Stimmt denn die obige Aussage bei höheren Graden?
und gilt damit tatsächlich, dass dann alle Nst aus Quot(R) schon in R liegen?

habe zu der ganzen Geschichte leider nie einen Beweis gesehen...





sry, war etwas Offtopic.



edit: sogar off-Forum smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Dein Beispiel hat Grad 1 und somit ist da mit Reduzibilität eh nicht viel....

Na wie du willst, dann eben .

Zu deinen Verallgemeinerungen in irgendwelchen Quotientenkörpern kann ich nicht viel sagen, da kenne ich mich ja nicht besonders aus. Augenzwinkern
ISA Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man dann die gleichung : x^3 - 3/2x^2 - 18x + 16 hat ist ja auch quasi ein bruch enthalten aber die polynomdivision funktioniert also darf man nur vor dem höchsten faktor keinen bruch haben???
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Die Polynomdivision funktioniert auch, wenn du da Brüche überall drin hast.
4 ist auch eine Lösung der Gleichung f(x)=0, wenn du da überall Brüche drin hast, die kannst du auch in der Ausgagnsform erraten (wenn du gut bist).

Es ging ja nur darum, was du VOR dem Raten tun sollst und dabei machst du sicher nix, was die NSTenmenge verändert.
Also nimm deine Gleichung ...=0 prinzipiell noch mal 2, bevor du rätst.





@Arthur: ja, ohne groß weiter nachdenken zu müssen, auch für den Allgemeinen Fall: Normiertheit muss gelten
Ansonsten würde ja Mulitplikation mit dem Hauptnenner (existent in R) alles plätten......

Danke für den Hinweis, hast mir mal ein wenig die Augen geöffnet. smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und du mir auch, wenn ich genau nachdenke:

Zitat:
Für Polynome (besser gesagt Polynomfunktionen) mit ganzzahligen Koeffizienten kommen nur diejenigen ganzen Zahlen als Nullstellen in Frage, die Teiler des Absolutgliedes sind. Ist überdies der Koeffizient vor der höchsten Potenz betragsmäßig Eins, dann sind alle rationalen Nullstellen sogar ganzzahlig.

Auf ist das nicht anwendbar, weil nicht alle Koeffizienten ganzzahlig sind! Da musst man schon zu übergehen.

Auf so ein Polynom mit dieser zusätzlicher Eigenschaft gelangt man i.a. nicht durch einfacheres Erweitern, da müssen schon Substitutionen wie z.B. hier ran.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »


und alle rationalen Lösungen sind ganzzahlige Teiler? cool.

insbesondere errechne ich gerade, das z=8 (und damit x=4) diese Gleichungen nicht löst :-\
edit: sry, sollte ja auch -4 sein Augenzwinkern noch mal nachrechnen...
edit: ja das passt besser

z=-8 => x=-4 ist eine Lösung
Maggus910 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Polynomdivision mit
Durchführe komme ich auch auf das richtige Ergebnis!! Das ist aber net erlaubt weil nicht alle Koeffizienten ganzrational sind? Hab ich das richtig verstanden?

Mein MAthelehrer hat immer gesagt wenn wir Nullstellen raten müssen versteckt sie sich immer im absoluten Glied als ein Teiles des aG....

Wenn ich aber f(X) = -1/8x^3 + 3/16 x^2 + 9/4 x - 2 als ausgangsgleichung habe dann sehe ich die -4 da nicht als Teiler drin?! Muss man die dann vorher auch solange umformen bis sie ganzrational ist bzw alle koeffizienten ganzrational sind??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maggus910
Wenn ich die Polynomdivision mit
Durchführe komme ich auch auf das richtige Ergebnis!! Das ist aber net erlaubt weil nicht alle Koeffizienten ganzrational sind? Hab ich das richtig verstanden?

oh Wunder, warum auch nicht?
habs oben schon mal gesagt: du kannst PD in jeder Form durchführen, auch wenn die Koeffizienten noch so unganz sind.


Zitat:
Mein MAthelehrer hat immer gesagt wenn wir Nullstellen raten müssen versteckt sie sich immer im absoluten Glied als ein Teiles des aG....

Schulweisheit smile
Wie wir oben gesehen haben steckt da abe was dahinter: ist dein Polynom normiert ("ganz vorne steht 1") ist jede RATIONALE Lösung ganzzahlig.
Natürlich gilt das nicht für evtl. reelle oder gar komplexe Lösungen.




Zitat:
Wenn ich aber f(X) = -1/8x^3 + 3/16 x^2 + 9/4 x - 2 als ausgangsgleichung habe dann sehe ich die -4 da nicht als Teiler drin?! Muss man die dann vorher auch solange umformen bis sie ganzrational ist bzw alle koeffizienten ganzrational sind??

da das dein Lehrer vermutlich sehen will, ja smile
copter Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

was ist denn mit -x³+15x²-18x-36

alle koeffizienten sind ganzzahlig und der koeffizient vor der höchsten potenz ist -1, dennoch gibt es keine ganzzahlige nullstelle.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Muss es ja auch nicht. Der Satz heißt wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, dann ist sie ein Teiler des Absolutgliedes. (hier von -36). Die Umkehrung gilt nicht.
copter Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ok. ich dachte wenn die bedingungen erfüllt sind, dann gibt es ganzzahlige nullstellen smile
copter Auf diesen Beitrag antworten »

dann stimmt diese aussage aber nicht

Zitat:
Original von Arthur Dent

Es müssen alle Koeffizienten ganzzahlig sein und der Koeffizient vor der höchsten Potenz gleich , dann erst kann man sicher sagen, dass jede rationale Nullstelle auch ganzzahlig ist und zudem ein Teiler des Absolutgliedes.
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