Probleme mit Ebenen

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13.04.2006, 17:20	Alfons3245	Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme mit Ebenen hallo leute ich hab da ein problem: gegeben sind 2 Ebenen: $\begin{eqnarray} E_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + k\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} +l\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + m\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} +n\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Normalenvektoren hab ich richtig berechnet: $\begin{eqnarray} \vec{n_1} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{n_2} \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die beiden Ebenen sind orthogonal zueinander (hab ich mit dem Skalarprodukt der Normalenvektoren bewiesen). Meine Aufgabe ist jetzt eine dritte Ebene $\begin{eqnarray} E_3 \end{eqnarray}$ zu finden die zu $\begin{eqnarray} E_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_2 \end{eqnarray}$ orthogonal ist und duch den Punkt $\begin{eqnarray} S(-2\|1\|2) \end{eqnarray}$ verläuft. schonmal danke
13.04.2006, 17:35	Alfons3245	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E_3 \end{eqnarray}$ soll übrigens in Normalenform sein.
13.04.2006, 17:38	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Normalvektor steht ja bekanntlich senkrecht zur Ebene. Wenn also etwas normal auf diese Ebene sein soll, so muss es diesen Vektor enthalten. Wenn also die gesuchte Ebene auf beide Ebenen normal stehen soll, so muss sie die beiden Normalvektoren der anderen beiden Ebenen enthalten. Und bekanntlich erhält man ja aus dem Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren einer Ebene den Normalvektor auf dieser Ebene.
13.04.2006, 17:43	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
einen Punkt hast du ja schon, du benötigst also nur noch den Normalenvektor der Ebene. Dieser Normelnvektor muss auf beiden Normalenvektoren der anderen Ebenen senkrecht stehen. baue dir daraus ein LGS, das unendlich viele Lösungen hat. aRo
13.04.2006, 17:52	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
@aRo: kannst du mir mal bitte zeigen wie so was geht mit diesem LGS? Würde mich mal interessieren. //edit: bin ich ein Blitzmerker; dieses LGS ist ja die Ebene...
13.04.2006, 18:09	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
hi! ne ich meinte sowas hier: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} a+4b+8c = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8a-4b+c = 0 \end{eqnarray}$ nach c aufgelöst: $\begin{eqnarray} a=-c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b= -7/4 \cdot c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c = c \end{eqnarray}$ also zB für c=4 $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} -4 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber irgendwie habe ich gerade Probleme mir das bildlich vorzustellen. Wenn 2 Ebenen senkrecht aufeinander stehen, wo soll denn dann eine Ebene sein, die senkrechte auf diesen beiden anderen Ebenen ist? Vielleicht kannst du mir da etwas auf die Sprünge helfen...
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13.04.2006, 18:19	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten ist es, wenn man sich das mal aufzeichnet. Aber ich geb auch mal ne "Hilfe" um sich das bildlich vorzustellen. Stell dir mal 2 Bretter vor, die wie die 2 senkrechten Ebenen stehen/verkeilt sind. Dann kommt ne Säge, die sowohl das eine als auch das andere Brett gerade, also im rechten Winkel dazu, durchsägt. Wenn du dann ein 3 Brett in diese Schneise einfügst, hast du damit 3 aufeinander senkrecht stehende Ebenen. //edit: ich hab leider kein gutes Zeichenprogramm, sonst würd ich ne Grafik posten -.-
13.04.2006, 18:48	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin mir nahezu sicher, dass es eine solche gegenseitige Lage nicht geben kann. Sind zwei Ebenen senkrecht zueinander und kommt eine dritte Ebene hinzu, die zu E1 auch senkrecht ist, so muss sie zu E2 orthogonal sein.
13.04.2006, 18:54	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
@aRo der Vektor [8/-4/1] ist Element aus deiner berechneten Schar von Normalenvektoren. Das heißt, der von dir aufgestellte Normalenvektor ist parallel zu einer der beiden Ebenen! (und nicht senkrecht)! DIe Aufgabe ist Humbug.
13.04.2006, 18:58	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich gibts diese 3. Ebene
13.04.2006, 19:04	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
so, dann stell sie bitte mal auf und nen sie!
13.04.2006, 19:11	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
(X--(2;1;0))(12; 21: -12)=0 Edit, die Klammer ist ein Takt verrutscht (X-(-2;1;0))(12; 21;-12)=0
13.04.2006, 19:17	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
@incass wieso soll es diese 3. Ebene denn nicht geben??? Kannst du das bitte mal vernünftig begründen?
13.04.2006, 19:22	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
nur so: was habt ihr eigentlich gegen das kreuzprodukt? ist doch viel angenehmer zu rechnen als so ein LGS.... $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}=... \end{eqnarray}$ diese dritte ebene gibts, falls du es nicht glaubst, schau mal in eine ecke des raumes in dem du dich befindest. ich denke mal der boden ist zur ersten wand orthogonal (zumindest sollte er das sein ) und der boden und die erste wand sind zusammen orthogonal zur 2. wand... gruß, system-agent
13.04.2006, 19:38	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss mich entschuldigen, es ist natürlich logisch ! da bin ich absolut nicht drauf gekommen. Danke für die Erklärung.
13.04.2006, 19:50	Alfons3514	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die vielen antworten.. hatte mir diese 3 ebenen wie die 3 koordinatenachsen vorgestellt, ist glaub ich am einfachsten.. die drei ebenen hätten dann logischerweise auch nur einen schnittpunkt. in diesem fall den koordinatenursprung, aber da ist nicht wichtig für die aufgabe.

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