unbestimmter ausdruck

06.07.2008, 15:03	username	Auf diesen Beitrag antworten »
unbestimmter ausdruck bestimmen sie $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0}(x^{\frac 1 x}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \\ x_0 = 0 \\ x_0 = \infty \end{eqnarray}$ da hab ich doch ausdrücke wiefolgt: $\begin{eqnarray} x_0 = 0: 0^\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_0 = \infty : \infty^0 \end{eqnarray}$ wenn ich das berechnen will muss ich es doch auf eine form $\begin{eqnarray} \frac0 0 oder \frac \infty \infty \end{eqnarray}$ bringen um dies berechnen zu können oder
06.07.2008, 15:05	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} x^{\frac{1}{x}} = \exp \left(\frac{\ln x}{x} \right) \end{eqnarray}$
06.07.2008, 15:06	username	Auf diesen Beitrag antworten »
und was macht man wenn man das nicht weis ?
06.07.2008, 15:08	username	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiss dass $\begin{eqnarray} e^{ln(x^{1/x})} \end{eqnarray}$ gilt
06.07.2008, 15:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte man halt wissen Folgt direkt aus den Rechenregeln für Exponenten und Logarithmen. Für x gegen unendlich kann man noch (formal für Funktionen leider falsch, da man damit nur natürliche x abdeckt) so vorgehen: $\begin{eqnarray} x^{\frac{1}{x}} = \sqrt[x]{x} \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} \sqrt{\sqrt[x]{x}} = 1+h(x) \end{eqnarray}$ . Dann ist aber $\begin{eqnarray} \sqrt{x} = (1+h(x))^{x} > xh(x) \Longleftrightarrow h(x) < \frac{1}{\sqrt{x}} \to 0 \end{eqnarray}$ . Also konvergiert $\begin{eqnarray} h(x) \end{eqnarray}$ gegen 0.

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