Parameter für minimale Dreiecksfläche

13.04.2006, 22:01

.seb.

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Parameter für minimale Dreiecksfläche

Parameter k ist gesucht, so dass der Flächeninhalt von Dreieck ABCk minimal ist. (Lösung = 2 )
A(12/-1/-4); B (4/5/-4)
Ck ist eine Punktemenge mit (k/4k-5/k+4). C auf der Sym-Ebene von AB.

Zunächst die Möglichkeit über das Vektorprodukt gesucht, jedoch Lösung fehlerhaft.

Zweite Möglichkeit über die Flächeninhaltformel bringt auch keine Ergebnisse, egal ob man dieses nun als ganzes gleichschenkliges Dreieck oder als rechtwinkl. Teildreieckes betrachtet.

Fehlt mir wieder der entscheidene Ansatz für den gesuchten Parameter. Danke im Vorraus.

EDIT werner: B wurde von B(4/5/-1) auf B(4/5/-4) korrigiert, s.u.

14.04.2006, 00:13

riwe

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RE: Parameter für minimale Dreiecksfläche
wenn C auf der symmetrieebene von AB liegen soll, so ist der parameter dadurch eindeutig festgelegt, die forderung nach einem minimum ist daher sinnlos.
und vermutlich hast du da einen angabefehler.
und wenn k = - 2 herauskommen soll, hast du einen fehler bei B(4/5/-2) statt B(4/5/-1).
das gibt M(8/2/-3) und die ebene
$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}) \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
-4x + 3y + z + 29 = 0
C einsetzen ergibt k = - 2 und C(-2/-13/2).

und wenn man umgekehrt für deine (alten) werte mit dem vektorprodukt die fläche berechnet und das extremum bestimmt, bekommt man (ich) k = 1.56...., und dieser punkt liegt nicht auf der symmetrieebene.
werner

14.04.2006, 09:54

Bjoern1982

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@ wernerrin

Was ist hier eigentlich mit "Symmetrieebene von AB (Vektor???)" gemeint?

Gruß Björn

14.04.2006, 10:50

Teutone

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Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an der Ebene gespiegelt, ergibt Punkt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ der Normalenvektor der Ebene ist.

14.04.2006, 10:59

Bjoern1982

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Achso, hätte ich mir auch denken können...

Danke

14.04.2006, 11:22

riwe

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so habe ich es auch verstanden, und der mittelpunkt der strecke AB ist daher punkt der ebene.
werner

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14.04.2006, 15:05

.seb.

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RE: Parameter für minimale Dreiecksfläche

Zitat:

Original von wernerrin
wenn C auf der symmetrieebene von AB liegen soll, so ist der parameter dadurch eindeutig festgelegt, die forderung nach einem minimum ist daher sinnlos.
und vermutlich hast du da einen angabefehler.
und wenn k = - 2 herauskommen soll, hast du einen fehler bei B(4/5/-2) statt B(4/5/-1).
das gibt M(8/2/-3) und die ebene
$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}) \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
-4x + 3y + z + 29 = 0
C einsetzen ergibt k = - 2 und C(-2/-13/2).

und wenn man umgekehrt für deine (alten) werte mit dem vektorprodukt die fläche berechnet und das extremum bestimmt, bekommt man (ich) k = 1.56...., und dieser punkt liegt nicht auf der symmetrieebene.
werner

Der Punkt war B(4/5/-4), Pardon.
Dein Rechenweg bestätigt dann teutones Skizze. C läuft auf der Sym.-Ebene Es: -2x+y-2z = -13.
Ck -> Es :

0k -13 = -13 (w.A.) -> alle Ck Es

OC = (0,-5.4)
M ( 8,3,0 )
d(M,OC) = 12

Irgendwie muss es gehen.

14.04.2006, 17:08

Poff

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RE: Parameter für minimale Dreiecksfläche
Die Aufgabe ist in der genannten Form idiotisch, wie Werner weiter
oben schon festgemacht hat.

Es gibt nur ein Dreieck und auch nach deinen neuesten Daten
ergibt sich kein k=2, sondern k=-11/8

14.04.2006, 17:49

riwe

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RE: Parameter für minimale Dreiecksfläche
hallo poff,
diesen wert habe ich auch.

@.seb.:wobei mich sehr interessieren würde, wie du die "symmetrieebene" -2x + y - 2z = -13 ermittelt hast?

werner

15.04.2006, 09:17

.seb.

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RE: Parameter für minimale Dreiecksfläche

Zitat:

Original von wernerrin
hallo poff,
diesen wert habe ich auch.

@.seb.:wobei mich sehr interessieren würde, wie du die "symmetrieebene" -2x + y - 2z = -13 ermittelt hast?

werner

Mittlerweile wirds richtig interessant ...
Fehler meinerseits nicht ausgeschlossen.

Aufgabenstellung wörtlich:
Bestimmen sie den Parameter k so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks A B Ck minimal wird. Wie groß ist der Flächeninhalt in diesem Fall.

Offen gesagt, komme ich selbst mit dem Begriff minimal in diesem Zusammenhang nicht zurecht.

Sym.-Ebene ergibt sich aus M (8 3 0)und AB ( -8 4 -8):

-2(x-8) + (y-3) - 2(z-0) = 0

15.04.2006, 11:14

marci_

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muss man den flächeninhatlt so berechnen?
kann man nicht einfach: A=0,5*c*h

und die höhe einfach also abstand punkt-gerade sehen?

15.04.2006, 11:34

riwe

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RE: Parameter für minimale Dreiecksfläche

Zitat:

Original von .seb.

Mittlerweile wirds richtig interessant ...
Fehler meinerseits nicht ausgeschlossen.Aufgabenstellung wörtlich:
Bestimmen sie den Parameter k so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks A B Ck minimal wird. Wie groß ist der Flächeninhalt in diesem Fall.

Offen gesagt, komme ich selbst mit dem Begriff minimal in diesem Zusammenhang nicht zurecht.

Sym.-Ebene ergibt sich aus M (8 3 0)und AB ( -8 4 -8):

-2(x-8) + (y-3) - 2(z-0) = 0

das soll wohl ein witz sein?
ohne bosheit: du solltest einmal die grundlegenden sachen anschauen und so weiter!
jochen möge mir verzeihen:
M = (A + B)/2 => M(8/2/-4)
oder exakter:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\Rightarrow M(8/2/-4) \end{eqnarray*}$
und der vektor AB igittigitt Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} -8 \\ 3 \\0 \end{pmatrix} =2\begin{pmatrix} -4 \\3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
@marci: klar geht das auch, ist (meiner meinung nach) aber umständlicher.
in beiden fällen kommt raus:
$\begin{eqnarray*} c = -\frac{11}{8}\Rightarrow A=84.8574 \end{eqnarray*}$
währen das extremum für k (mit den neuen korrigierten werten liefert
$\begin{eqnarray*} k=-\frac{197}{84} \end{eqnarray*}$

15.04.2006, 12:44

.seb.

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Ich zeige tiefe Reue für meine Säumigkeit - dank dem Appell.
Marcis Weg leuchtet mir ein, wird auch langsam Zeit.

A = 0,5 * |AB| * |Ck|
A = 0,5 * 12 * $\begin{eqnarray*} \sqrt{ k^{2} + (4k-5)^{2}-40k+25+(k+4)^{2}} \end{eqnarray*}$

1 LE = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$
-> 1 = k²+4k²-40k+25+k²+8k+16
-> k1 = 2 ; k2 = 3 1/3

15.04.2006, 13:42

Poff

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Was ist denn das für eine wundersame Zauberrechnung ?

15.04.2006, 15:34

riwe

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Zitat:

Original von .seb.

A = 0,5 * |AB| * |Ck|
A = 0,5 * 12 * $\begin{eqnarray*} \sqrt{ k^{2} + (4k-5)^{2}-40k+25+(k+4)^{2}} \end{eqnarray*}$

1 LE = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

-> 1 = k²+4k²-40k+25+k²+8k+16
-> k1 = 2 ; k2 = 3 1/3

phänomenal, und 7 = 23 oder 13 =(-9)zum quadrat usw., usw.
und nebenbei /AB/ = 10, aber da 10 = 12 stimmt es ja wieder.

da hätte man ja gleich drauf kommen können, dass k = 2.
in stiller be- und verwunderung
werner

21.05.2007, 13:59

Whiteghost

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RE: Parameter für minimale Dreiecksfläche
ohne hier jemanden ernstlich in seiner Würde verletzen zu wollen, aber wir kennen doch alle das Sprichwort "wer im Glashaus sitzt, soll nicht mit Steinen werfen!"

Einige hier sollten dies vielleicht beherzigen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

schließlich ist das phänomenale hier die geballte Unwissenheit auch von Leuten die ernsthaft denken, sie wären irgendwie besser als andere.

Ich habe dieses Abitur soeben in der Schule vorgestellt, also bitte keine haltlosen Behauptungen in den Raum werfen.

Das ist ein Auschnitt aus dem LK-Abi '95 Analytische Geometrie. Gegeben waren die Punkte $\begin{eqnarray*} A(12/1/4), B(4/5/-4), C_{k}(k/4k-5/k+4) \end{eqnarray*}$

Teilaufgabe 1d:

"Bestimmen Sie den Wert des Parameters k so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABCk minimal wird. [Teilergebnis k=2]
Wie groß ist der Flächeninhalt in diesem Fall?"

Die Forderung nach einem Minimum ist absolut nicht sinnlos. Dass die Punkte Ck alle auf der Symmetrieebene von AB liegen ist durchaus richtig (wird auch am Anfang der Aufgabe ein Beweis verlangt), aber zugleich liegen die Punkte auf einer Geraden (logisch) innerhalb der Ebene, der Flächeninhalt schwankt also dementsprechend und k ist überhaupt nicht festgelegt, nur weil Ck Element der Ebene ist.

soviel dazu.

Es gibt hier zwei leichte Möglichkeiten der Berechnung. Entweder über die Fomel $\begin{eqnarray*} A(k)=0,5*|\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC}| \end{eqnarray*}$ oder über die Standardberechnung $\begin{eqnarray*} A(k)=0,5*G*h=0,5*|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{MC_{k}}| \end{eqnarray*}$

und wer hier allen ernstes behauptet $\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{AB}| \end{eqnarray*}$ würde 10 ergeben und nicht 12 sollte sich nicht so aufspielen sondern selber die "grundlegenden Sachen" wiederholen.

dasselbe gilt für die Berechnung von M:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{m}=0,5*(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\begin{pmatrix} 8 \\3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\overrightarrow{MC_{k}}=\begin{pmatrix} k-8 \\ 4k-8 \\ k+4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(k)=0,5*|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{MC_{k}}|=0,5*12*\sqrt{ (k-8)^{2} + (4k-8)^{2} + (k-4)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =6*\sqrt{ k^{2} - 16k + 64 + 16k^{2} - 64k + 64 + k^{2} + 8k + 16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =6*\sqrt{ 18k^{2} - 72k + 144}=6*\sqrt{ 9 }*\sqrt{ 2k^{2} - 8k + 16}=18*\sqrt{ 2k^{2} - 8k + 16} \end{eqnarray*}$

Für Extremwerte gilt folgendes:

$\begin{eqnarray*} A'(k)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(k)=18*\frac{1}{\sqrt{ 2k^{2} - 8k + 16}}*(4k - 8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow0=18*(4k - 8)=4k - 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow8=4k \end{eqnarray*}$

damit sollte das klar sein. Nachweis für ein Minimum mit dem Extremalentscheid^^

Für die Bestimmung vom Flächeninhalt k=2 einfach in die Flächenformel oben einsetzen
Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} =6*\sqrt{ 72 } \end{eqnarray*}$

so^^ jetzt ist dafür wenigstens ne richtige Lösung im netz für die nach mir...

edit: Indizes-code richtig eingefügt

Gruß,
Whiteghost

21.05.2007, 14:23

riwe

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RE: Parameter für minimale Dreiecksfläche
vielleicht solltest du das, was du als einleitung hingemalt hast,
zuerst selbst beherzigen. unglücklich

unglücklich

für richtige lösungen haben wir nicht auf dich warten müssen,
aber glauben macht oft seliger denn wissen Big Laugh

Big Laugh

niemand glaubt hier besser zu sein als andere,
allerdings sind es einige Big Laugh

Big Laugh

in speziellen bereichen.
das ist ja auch der sinn des ganzen, dadurch kann man sich gegenseitig helfen
(ohne gleich beim 1. beitrag so groß zu kotzen wie du)
werner

edit: na ist ja schon der zweite beitrag,
dann ist´s ok unglücklich

unglücklich

21.05.2007, 14:30

Whiteghost

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RE: Parameter für minimale Dreiecksfläche
ich fand's nur ziemlich unverschämt, dass bei dem einzigen Thema zu der Aufgabe, das man im inet findet, soviel spam und herablassende Kommentare geposted wurden.

Leider sieht es tatsächlich so aus als ob ihr unfähig gewesen wärt die richtige Lösung zu liefern. Und dann noch andere darauf hinzweisen, dass sie zuerst Grundlagen lernen sollen bevor sie hier eine Frage stellen ist das letzte, obwohl man es selber nicht besser kann. Tut mir leid, aber was bitte soll das denn?

mag sein, dass mein Beitrag großkotzig anmutet aber nicht weniger als deine davor Augenzwinkern

Augenzwinkern

mit dem Unterschied, dass meins richtig ist und ich niemanden grundlos anflame.

Es ist ein Zeichen von Größe, dass man eigene Fehler eingesteht und sein Verhalten überdenkt. Lies dir mal die alten Posts hier durch^^ dann verstehst du mich.

ansonsten können wir die Unterhaltung ja per pm fortführen, sonst regt sich noch jemand (zu Recht) wegen spam auf

Whiteghost

21.05.2007, 14:39

riwe

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RE: Parameter für minimale Dreiecksfläche
ich lege ganz sicher keinen wert darauf, mit leuten wie dir, die toni p. treffend vk nennt, pn.auszutauschen.
damit ist das thema für mich erledigt.
kannst dich ja woanders austoben, z.b im kindergarten

21.05.2007, 14:47

Whiteghost

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RE: Parameter für minimale Dreiecksfläche

Zitat:

Original von riwe
ich lege ganz sicher keinen wert darauf, mit leuten wie dir, die toni p. treffend vk nennt, pn.auszutauschen.
damit ist das thema für mich erledigt.
kannst dich ja woanders austoben, z.b im kindergarten

omg und da denkt man ein 66jähriger wäre reifer -.- wahnsinn... wenn man nen schlechten Tag hat sollte man vllt. nicht an den pc

aber du bist ja hier sogar noch Moderator...

21.05.2007, 15:06

AD

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@Whiteghost

Ist ja schön und nett, dass du die Lösung in einem über ein Jahr altem Thread postest (vielleicht hilft es ja doch jemanden), aber deine Kommentare sind mehr als unverschämt:

Werner hatte vollkommen recht mit seiner Anmerkung, dass die Minimumforderung nicht mehr nötig ist, da im Originalposting - im Gegensatz zu deiner Aufgabe 1d - zusätzlich gefordert wurde, dass C in der Symmetrieebene von AB liegt. Und das ist der entscheidende Punkt: Denn dann ist C bereits festgelegt als Schnittpunkt dieser Symmetrieebene mit der Parametergeraden (k / 4k-5 / k+4) .

Anstatt diesen entscheidenden Unterschied zu deiner Aufgabe zu beachten äußerst du dich hier derart abfällig:

Zitat:

Original von Whiteghost
schließlich ist das phänomenale hier die geballte Unwissenheit auch von Leuten die ernsthaft denken, sie wären irgendwie besser als andere.

Zumindest können diese anderen gründlich lesen, was dir offenbar abgeht.

Zitat:

Original von Whiteghost
ohne hier jemanden ernstlich in seiner Würde verletzen zu wollen, aber wir kennen doch alle das Sprichwort "wer im Glashaus sitzt, soll nicht mit Steinen werfen!"

Hoffentlich beherzigst du das in Zukunft, das mit dem Glashaus.

21.05.2007, 15:12

Whiteghost

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Dir ist allerdings etwas entscheidendes entgangen (vielleicht auch, weil dir nicht die ganze Abi-Aufgabe vorliegt wie mir): es gibt unendlich viele Schnittpunkte von der Geraden auf der alle Punkte Ck sind und der Symmetrieebene. --> Ck ist nicht fest definiert.

Deswegen hat er nicht recht Big Laugh

Big Laugh

und wie ich bereits oben sagte, der Nachweis, dass Ck in dieser Symmetrieebene liegt wurde zu Anfang der Aufgabe verlangt.

von daher...

vllt. äußere ich mich abfällig, mag sein, aber das würde wohl jeder, wenn er soviel Müll lesen muss wie vorne steht! Natürlich nicht nur von ihm.

edit: man sollte ja auch nicht beweisen, dass C in der Symmetrieebene liegt (welches C denn?) sondern Ck! Es gibt keinen bestimmten Wert für diesen Parameter k für den Ck in der Ebene liegt. Alle liegen drin.

21.05.2007, 15:19

AD

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Zitat:

Original von Whiteghost
es gibt unendlich viele Schnittpunkte von der Geraden auf der alle Punkte Ck sind und der Symmetrieebene.

Das stimmt einfach nicht: Die Parametergerade (k/4k-5/k+4) hat den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , während die Symmetrieebe von AB den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} = A-B = \begin{pmatrix} 8\\ -6\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat. Wie man unschwer erkennt, ist $\begin{eqnarray*} \vec{n}\cdot \vec{r} \neq 0 \end{eqnarray*}$ , also steht $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ nicht senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ , und somit schneiden sich Gerade und Ebene in genau einem Punkt.

Ich finde, es ist Zeit, dass du dich bei Werner entschuldigst, du Glashausbewohner.

21.05.2007, 15:26

Whiteghost

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sry Arthur aber ich hab diese Aufgabe wie gesagt heute zusammen mit meinem Kurs in der Schule besprochen und du kannst mir glauben, was ich hier schreibe -.-

dein Richtungsvektor der Parametergeraden stimmt, aber nicht der Normalenvektor der Symmetrieebene. Schau dir die Punkte A und B an. Ich hab sie doch oben geschrieben.
$\begin{eqnarray*} A(12/1/4), B(4/5/-4), C_{k}(k/4k-5/k+4) \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} -8 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die beiden Vektoren ergeben skalarmultipliziert 0 --> aufeinander senkrecht.

glaubst du mir jetzt? oO

und ich werd mich garantiert nicht bei dem entschuldigen, wofür denn? Dass ich sage, was mich ankotzt an hochnäsigen Leuten ohne plan? Der hat mich dann angeflamed, nicht umgekehrt -.- soll er sich für seine Beleidigungen und Provokationen entschuldigen. Und für seine Unfähigkeit, seine Fehler einzugestehen.

ich bin doch nicht bescheuert und genausowenig die anderen 9 Leute in meinem Kurs -.-

21.05.2007, 15:28

AD

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Deine Abituraufgabe interessiert hier überhaupt nicht - von der wissen wir, dass sie anders ist. Es geht um die Originalaufgabe von .seb. , so wie sie im Eröffnungsbeitrag steht, denn genau zu der hat sich Werner geäußert:

Zitat:

Original von .seb.
A(12/-1/-4); B (4/5/-4)
Ck ist eine Punktemenge mit (k/4k-5/k+4). C auf der Sym-Ebene von AB.

Und das "sry" geht an Werner, nicht an mich. unglücklich

unglücklich

21.05.2007, 15:32

Whiteghost

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lol... ich glaub es hakt -.-

ich hab doch oben geschrieben, dass die Frage vom threadersteller über nem Teil dieser Abituraufgabe geht...

dass ist dieselbe Aufgabe mit dem Unterschied, dass hier die richtigen Angaben sind.

kannst du auch deine Fehler nicht eingestehen?

aber was solls... wenn Leute nach der Aufgabe suchen (so wie ich vor ein paar Tagen), dann werden sie sicher eine ähnliche Aufgabe mit anderen Werten sehen wollen wo dann Leute sinnlos ihre falschen Lösungen präsentieren, die richtigen nicht anerkennen und den, der sie posted anflamen xD

klasse^^ viel spaß noch dabei Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.05.2007, 15:37

AD

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Zitat:

Original von Whiteghost
ich bin doch nicht bescheuert

Doch, das bist du, und zwar hochgradig bescheuert:

Werner für eine falsche Lösung zu deiner Aufgabe zu verhöhnen, wo er doch eine zwar ähnliche, aber aufgrund anderer Koordinaten auch qualitativ andere Aufgabe richtig gerechnet hat!!!

Und du hast Recht, es gibt wirklich Leute, die wollen partout nicht einsehen, dass sie sich vergaloppiert haben.

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