ebenen

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13.05.2004, 13:18	elysia	Auf diesen Beitrag antworten »
ebenen hallo! ich habe drei punkte gegeben, wie kann ich damit eine ebene aufspannen? nicht parameter sondern als koordinatengleichung!
13.05.2004, 13:25	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebenen Wenn die Punkte A B und C heißen: Die Vektoren AB und BC aufstellen, den Normalvektor bilden und mit der Formel: $\begin{align} \vec{n} \end{align}$ . $\begin{align} \vec{x} \end{align}$ = $\begin{align} \vec{n} \end{align}$ . $\begin{align} \vec{OA} \end{align}$ . $\begin{align} \vec{x} \end{align}$ = $\begin{align} $\array{x\\y\\z}$ \end{align}$
13.05.2004, 13:41	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte die Frage kommen "Wie bestimme ich den gesuchten Normalvektor?", habe ich hier ein Beispiel: Seien $\begin{align} \vec{a} = $\array{a_1\\a_2\\a_3}$ , \vec{b}= $\array{b_1\\b_2\\b_3}$ \end{align}$ die beiden Vektoren, die die Ebene aufspannen, und $\begin{align} \vec{n} = $\array{n_1\\n_2\\n_3}$ \end{align}$ der benötigte Normalvektor, der auf beiden senkrecht stehen muss. Dann gilt: $\begin{align} $\array{a_1\\a_2\\a_3}$ $\array{n_1\\n_2\\n_3}$=0 \end{align}$ und $\begin{align} $\array{b_1\\b_2\\b_3}$ * $\array{n_1\\n_2\\n_3}$=0 \end{align}$ Ein Beispiel: $\begin{align} \vec{a} = $\array{3\\-2\\1}$ , \vec{b}= $\array{-1\\-1\\2}$ \end{align}$ => $\begin{align} $\array{3\\-2\\1}$ * $\array{n_1\\n_2\\n_3}$=0 \end{align}$ und $\begin{align} $\array{-1\\-1\\2}$ * $\array{n_1\\n_2\\n_3}$=0 \end{align}$ Da es auf die Länge des Normalverktors hierbei nicht ankommt, kann eine Komponente ohne Beschränkung der Allgemeinheit als 1 gewählt werden, hier nehme ich spontan die erste: Aus den beiden Bedingungen ergibt sich damit ein Gleichungssytem: $\begin{align} 3-2n_2+n_3=0 \end{align}$ $\begin{align} -1-n_2+2n_3=0 \end{align*}$ das mir die beiden übrigen Komponenten liefert. johko
13.05.2004, 13:41	elysia	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebenen hm das kapiere ich nicht so ganz. aich habe die punkte A(4/-1/3) B(2/1/5) C(-1/-2/0) die ebenenform ist ja Ax+By+Cz+D=0 wenn ich jetzt AB ausgerechnet habe: als Vektor (-2/2/2) und BC (-3/-3/-5) der normalvektor ist dann (-4/-16/12) smile ich weiss nicht, wie man hier vektoren schreibt, deswegen die blöde darstellung dann habe ich mit deiner formel: (-4/-16/12)(x/y/z)=(-4/-16/12)(4/-1/3) und dann?
13.05.2004, 13:51	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist (siehe auch Workshop Vektorrechnung) die Koordinatengleichung das Ergebnis der ausgeführten Rechnung: -4x-16y+12z={-16+16-36=}36
13.05.2004, 13:54	elysia	Auf diesen Beitrag antworten »
uuuuuh das habe ich auch bekommen, aber ich habe was anderes übersehen ... auf jeden fall danke!!!
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13.05.2004, 14:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch so (dieses Verfahren ist zu empfehlen, wenn du mit deinem Taschenrechner lineare Gleichungssysteme lösen kannst): Koordinatengleichung mit unbestimmten Koeffizienten ansetzen: $\begin{align} a_1 x_1 \ + \ a_2 x_2 \ + \ a_3 x_3 \ = \ b \end{align}$ Für die 3 Punkte jeweils die Koordinaten einsetzen. Du erhältst ein homogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten. Dieses gemäß dem Gaußschen Algorithmus auf Stufenform bringen. Bei der Lösung kannst du dir eine geeignete der Unbekannten beliebig (ungleich 0) vorgeben. Die restlichen drei mußt du dann daraus berechnen. Beispiel Gesucht ist die Ebene E durch die Punkte A(2\|-15\|-1), B(-5\|4\|2), C(-3\|-3\|1) lineares Gleichungssystem (es sind nur die Koeffizienten von $\begin{align} a_1,a_2,a_3,b \end{align}$ notiert; die rechte Seite des Gleichungssystems besteht nur aus Nullen, die habe ich auch gleich weggelassen): $\begin{align} \array{2&-15&-1&-1\\-5&4&2&-1\\-3&-3&1&-1} \end{align}$ Das (-1)-fache der ersten Zeile wird zur zweiten bzw. dritten Zeile addiert: $\begin{align} \array{2&-15&-1&-1\\-7&19&3&0\\-5&12&2&0} \end{align}$ Jetzt wird das (-2)-fache der zweiten Zeile zum 3-fachen der dritten addiert: $\begin{align} \array{2&-15&-1&-1\\-7&19&3&0\\-1&-2&0&0} \end{align}$ Jetzt kann man sich z.B. $\begin{align} a_2 = -1 \end{align}$ vorgeben und erhält aus der letzten Gleichung $\begin{align} a_1 = 2 \end{align}$ , dann aus der zweiten Gleichung $\begin{align} a_3 = 11 \end{align}$ , schließlich aus der letzten $\begin{align} b = 8 \end{align}$ : $\begin{align} E: \ \ \ 2x_1 \ - \ x_2 \ + \ 11x_3 \ = \ 8 \end{align}$
13.05.2004, 14:17	elysia	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, nochmal eine frage : ich habe jetzt die ebene und einen punkt S(0/-5/5), der daraus ein dreieck macht. wie kann ich dann denn spiegelpunkt von s bezüglich der ebene bekommen?
14.05.2004, 08:20	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebenen Mit dem Normalvektor der Ebene und S eine Gerade bilden, die mit Ebene schneiden -> Fußpunkt F, Vektor SF aufstellen, $\begin{align} \vec{OF} \end{align}$ + $\begin{align} \vec{SF} \end{align}$ = $\begin{align} \vec{OS'} \end{align}$ S' ist der Spiegelpunkt

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