Differentierbar aber nicht stetig?

06.07.2008, 21:36

!Skar!™

Differentierbar aber nicht stetig?

Hi,

nachdem mein Mathelehrer mir dies nicht plausibel erklären konnte erhoffe ich mir das ihr mir hierbei weiter helfen könnt =)

Also in unserem Mathebuch steht das eine differentierbare Funktionen auch stetig sein muss.

Wenn ich mich jetzt an eine abschnittsweise definierte Funktion setze dann trifft dieser Satz jedoch nichtmehr zu, da hier Graphen trotz gleicher Steigung einen Sprung vorweisen können.

Meine Erklärung währe nun das die Stetigkeit nur in falle einer kontinuirlichen Funktion von der Differentierbarkeit Abgeleitet werden könnte.
Diese Erklärung wird mir aber als Falsch zurückgewiesen.

Könnte mir das jemand für mich verständlich erklären?

Danke

06.07.2008, 21:39

kiste

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Wenn die Funktion am Ende eines Abschnitts nicht stetig ist, so wird sie da auch nicht differenzierbar sein

06.07.2008, 21:39

therisen

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RE: Differentierbar aber nicht stetig?

Zitat:

Original von !Skar!™
Wenn ich mich jetzt an eine abschnittsweise definierte Funktion setze dann trifft dieser Satz jedoch nichtmehr zu, da hier Graphen trotz gleicher Steigung einen Sprung vorweisen können.

Insbesondere ist so eine Funktion nicht differenzierbar.

06.07.2008, 21:56

!Skar!™

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Zitat:

Original von kiste
Wenn die Funktion am Ende eines Abschnitts nicht stetig ist, so wird sie da auch nicht differenzierbar sein

Ich bring jetzt mal ein ganz blödes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x - 1 & wenn \; x < 0 \\ x + 1 & wenn \; x \ge 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Abschnittsweise definierte Funktion,

Die ist ja nach der Mathematischen beweisführung wie wir sie in der Schule durchführen diffbar aber nicht stetig?

06.07.2008, 22:02

!Skar!™

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OK ich hab jetzt nochmal in unserem Buch nachgesehen ich kann dort nichts drüber finden das Abschnittsweise definierte funktionen ausgeschlossen sind, es ist sogar im Beispiel eine mit aufgeführt.

06.07.2008, 22:02

kiste

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Ok es ist f(0) = 1

Dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^+} \frac{x+1-1}{x-0} =1 \end{eqnarray*}$
aber
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^-} \frac{x-1-1}{x} = \infty \end{eqnarray*}$
Also in 0 nicht differenzierbar.

06.07.2008, 22:21

!Skar!™

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Mhm also in der Schule machen wir das immer folgendermaßen:

Linksseitige annäherung: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f'(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Rechts: $\begin{eqnarray*} f'(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Nach dieser währe es dann Differentierbar.

06.07.2008, 22:24

Dual Space

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Diese Methode ist Quatsch! Du beweist, dass f diffbar ist, in dem du annimmst, dass f diffbar ist. Diese Metgode sagt dir, ob die erste Ableitung einer diffbaren Funktion stetig (in 0) ist. Nicht mehr und nicht weniger.

Differenzierbarkeit ist (wie Stetigkeit) eine lokale Eigenschaft einer Funktion.

06.07.2008, 22:25

kiste

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Nein das kann man nur so machen wenn die Funktion auch stetig ist Big Laugh

Aber du wirst doch erkennen das die Defintion der differenzierbarkeit nicht gegeben ist, oder?

06.07.2008, 22:27

!Skar!™

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Ja aber ich versuche das gerade mit meinem Mathebuch zu verenigen da wir den nachweis über den Differenzialquotienten nicht gelernt haben sondern nur die hier kennen.

Das erklärt dann allerdings auch meine Frage =)

Ich danke euch =)

Und ich werde mich nun erstmal weiter über dern Differenzialquozienten informieren.

07.07.2008, 18:36

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Hallo,

Zitat:

Original von !Skar!™
Ja aber ich versuche das gerade mit meinem Mathebuch zu verenigen da wir den nachweis über den Differenzialquotienten nicht gelernt haben sondern nur die hier kennen.

Das wäre schon merkwürdig, gut, viele Schüler vergessen den Differentialquotionten wieder, da man den in der Schule eigentlich nie braucht, aber laut Definition der Differenzierbarkeit heißt es:

f ist in einem Punk a genau dann differenzierbar, wenn der Differentialquotient in dem Punkt a existiert.

07.07.2008, 22:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von !Skar!™
da wir den nachweis über den Differenzialquotienten nicht gelernt haben

Um es mal klarer auszudrücken: Das kann nicht sein!

08.07.2008, 11:17

Nubler

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vielleicht beginnen die ja mit ableitungen im distributiven sinne (was imo aber höchst unwwahrscheinlich ist...)?

08.07.2008, 14:12

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@Nubler

Soweit ich mich erinnere, spielt bei der Definition der Distributionen der Raum $\begin{eqnarray*} C_0^{\infty} \end{eqnarray*}$ der unendlich oft im gewöhnlichen Sinne (!) differenzierbaren Funktionen mit kompakten Träger eine entscheidende Rolle. In dem Sinne ist dein "höchst unwahrscheinlich" noch milde ausgedrückt. Big Laugh

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