Zerlegung reeller Polynome

06.07.2008, 21:43

hyperbel

Zerlegung reeller Polynome

Hallo.

Ich habe eine Aufgabe und weiß zwar was gefragt ist, aber wie ich dorthin komme weiß ich nicht.

Wir sollen vom Polynom $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4+1 \end{eqnarray*}$ alle komplexen Nullstellen berechnen und anschließend das Polynom als Produkt reller oder quadratischer Faktoren (ohne relle Nullstellen) darstellen.

Die Darstellung mit quadratischen Faktoren habe ich soweit raus, das müsste
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x²-i)\cdot(x²+i) \end{eqnarray*}$ sein.

Aber ich wollte wissen, wie man sie nun auch reell darstellen kann, und die Tutorin meinte, das kann man, wenn man das alles über die Polarform berechnen würde.

Wie geht denn eine Nullstellenberechnung über Polarform?

Ich weiß da nicht weitrer... traurig

06.07.2008, 22:23

tmo

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Substituiere doch $\begin{eqnarray*} x^2 = z \end{eqnarray*}$ .

Dann hast die komplexe Gleichung $\begin{eqnarray*} z^2 +1 =0 \end{eqnarray*}$ zu lösen.

Dies führt dann letztendlich auf $\begin{eqnarray*} x^2 = i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^2 = -i \end{eqnarray*}$ . Da helfen dir dann evtl. die Polarformen von i und -i.

06.07.2008, 23:07

mYthos

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Das alles führt aber so zu keiner reellen Zerlegung des Polynomes. Diese ist sicher binomisch nicht möglich. In Polarform lautet die (komplexe) Gleichung

$\begin{eqnarray*} \underline{z}^4 = (1; \pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Lösungen (n = 0 .. 3):

$\begin{eqnarray*} \underline{z}_n = (1; (1 + 2n) \frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$

Diese sind alle komplex. In der Polarform sieht man allerdings nur reelle Argumente. Auf das Polynom angewendet zerlegen sie dieses wiederum in komplexe Faktoren.

mY+

[Lösungen korrigiert, das andere belassen, aber es gibt doch die von @tmo angegebene Zerlegung]

06.07.2008, 23:15

tmo

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Doch es existiert eine reelle Zerlegung. Auf diese kommt man auch durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} x^4+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \end{eqnarray*}$ und anschließendem Koeffizientenvergleich.

Bei 4 verschiedenen komplexen Nullstellen und reellen Koeffizienten muss doch wegen $\begin{eqnarray*} (x-z)(x-\overline z)=(x^2-2Re(z)x+|z|^2) \end{eqnarray*}$ eine reelle Zerlegung existieren.

06.07.2008, 23:40

mYthos

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@tmo

Ach ja, jetzt sehe ich es erst, meine Lösungen stimmten ja gar nicht. Da jeweils zwei Lösungen zueinander konjugiert komplex sind, muss es die von dir angegebene Zerlegung geben. Danke für die Korrektur!

Ich glaube mich jetzt auch zu erinnern, vor einiger Zeit hier im Forum ein ähnliches Problem gesehen zu haben.

mY+

06.07.2008, 23:51

hyperbel

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Zitat:

Original von mYthos

$\begin{eqnarray*} \underline{z}^4 = (1; \pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Wie bist du denn darauf gekommen?

06.07.2008, 23:53

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \underline{z}^4 = -1 \end{eqnarray*}$

-1 ist in Polarform -> $\begin{eqnarray*} (1; \pi) \end{eqnarray*}$

mY+

07.07.2008, 00:53

hyperbel

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Warum denn? Auch wenn die Frage etwas blöd ist, aber das Thema liegt mir nicht so sehr unglücklich

deshalb frage ich nach...

-1 als komplexe Zahl dargestellt ist doch (-1,0i) und warum ist dieses 0 jetzt plötzlich 180°? verwirrt

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} z^4=-1+0 i = -1+\pi i \end{eqnarray*}$ habe, wie ermittle ich denn die reellen Nullstellen dieser komplexen Zahl?

Einfach die vierte Wurzel ziehen?

07.07.2008, 01:11

tmo

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Bei der Darstellung $\begin{eqnarray*} (r, \varphi) \end{eqnarray*}$ ist r der Betrag und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ das Argument der komplexen Zahl.

Vielleicht würdest du dich mit der Darstellung $\begin{eqnarray*} -1 = e^{i \pi} \end{eqnarray*}$ leichter tun.

07.07.2008, 01:20

hyperbel

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Aso, habs verstanden. Hammer

Das mit den Klammern ist also die Darstellung für k.Zahlen in Polarform
(genauso wie es solch eine Darstellung für k.Zahlen in algebraischer Form gibt)

Wie ermittle ich denn jetzt die Nullstellen aus der Polarform heraus?
Von der algebraischen Form hab ich es unten bereits ja getan, allerdings kommt eine Zahl mit Linearfaktoren mit nichtreellen, sondern komlexen Nullstellen heraus und ich würde auch gerne sehen, wie die Berechnung für relle Nullstellen geht.

Könnten Ihr mir das bitte auch erklären? Hilfe

07.07.2008, 01:24

tmo

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Erstmal sei dir gesagt: Du hättest auch auf dem Weg ohne Polarform alle 4 komplexen Nullstellen bestimmen können. Nämlich indem du $\begin{eqnarray*} (x^2-i) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x^2+i) \end{eqnarray*}$ weiter zerlegst.

Mit der Polarform bestimmst du die Lösungen so:

Es muss $\begin{eqnarray*} x^4 = e^{i\pi} \end{eqnarray*}$ gelten.

Eine Lösung ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi}{4}} \end{eqnarray*}$ .

An weitere kommst du ran, indem du mal $\begin{eqnarray*} e^{i\pi} = e^{i3\pi} \end{eqnarray*}$ beachtest und somit eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^4 = e^{i3\pi} \end{eqnarray*}$ auch eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^4 = e^{i\pi} \end{eqnarray*}$ ist. Danach dasselbe mit $\begin{eqnarray*} 5 \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 7 \pi \end{eqnarray*}$ . Ab dann wiederholen sich die Lösungen nur noch und es gibt keine neuen mehr.

07.07.2008, 01:33

hyperbel

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Zitat:

Original von tmo
Nämlich indem du und weiter zerlegst.

Ahhh, ich kann noch mehr zerlegen? Wie denn, würde mich mal interessieren, ähnliches hatte auch meine Tutorin gesagt, auch wenn meine angegebene Lösung korrekt bepunktet wurde. Habe deshalb nicht mehr zugehört(hätte ich machen sollen traurig

)

Danke übrigens für die Erklärung der Suiche nach den rellen Nullstellen smile

Bin jetzt voll happy, weil ich es endlich verstanden habe
Dankesehr Prost

07.07.2008, 01:40

tmo

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Zitat:

Original von hyperbel

Zitat:

Original von tmo
Nämlich indem du und weiter zerlegst.

Ahhh, ich kann noch mehr zerlegen?

$\begin{eqnarray*} (x^2-z)=(x-z_1)(x-z_2) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=z \end{eqnarray*}$ sind. Hättest du meinen ersten Beitrag ganz oben gelesen, wärst du da schon früher draufgekommen.

Zitat:

Original von hyperbel
Danke übrigens für die Erklärung der Suiche nach den rellen Nullstellen smile

Bin jetzt voll happy, weil ich es endlich verstanden habe
Dankesehr Prost

Du hast es leider wohl noch nicht verstanden. Denn es gibt gar keine reelle Nullstellen. Nur 4 komplexe, wobei jeweils 2 komplex konjugiert sind. Warum es aber trotzdem zu einer reellen Zerlegung in quadratische Faktoren kommt, habe ich in diesem Thread auch schon erklärt.

07.07.2008, 01:54

hyperbel

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Sorry, hab eben auch gemerkt, dass ich mich falsch ausgedrückt habe.

Ich meinte damit halt die rellen Linearfaktoren(so nannte unser Professor die Formen in der Polarform...klingt verwirrend, ich weiß...es haben sich auch dementsprechend viele beschwert Big Laugh

)

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