Flughafen und Transformationen

14.04.2006, 09:03

AmelieS.

Flughafen und Transformationen

Hallo,
ich habe zwei Fragen zu zwei aufgaben.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gepäckstück nach München "will" sei 0.25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zehnte Gepäckstück das 3. nach München ist.

Ich dachte mir, das ist ist erst ein 9-Stufiger Bernoulli-Versuch mit 2 Erfolgen. Dann muss da noch die Wahrscheinlichkeit, hinzugerechnet für den 3. Erfolg hinzugerechnet werden und das ist da, wo ich nicht weiter weiß. Warum multiplizieren die einfach mit 2?

Die Zweite Aufgabe ist zu meinem Erzfeind, der Tschebischew-Ungleichung.

Zitat:

Aus langjahriger Erfahrung weiß man bei einer Fluggesellschaft, dass Gepackstucke ein durchschnittliches
Gewicht von 18kg bei einer Standardabweichung von 5kg besitzen.
Schatzen Sie mit Hilfe der Tschebyschew-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass
bei 300 aufgegebenen Gepäckstucken das Gesamtgewicht zwischen 4800 kg und 6000 kg liegt.
Für die Berechnung darf angenommen werden, dass das Gewicht der Gepäckstucke voneinander
unabhängig ist.

Ich hab da zu erst so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 6000/300=20 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4800/300=16 \end{eqnarray*}$ Deshalb hab ich $\begin{eqnarray*} P(|x-m|<2)>1-25/4 \end{eqnarray*}$ Als Gleichung herausbekommen. Das Ergebnis ist auf jeden Fall falsch. Aber warum ist der Rechenweg falsch?

In der Lösung stand dann dr genau umgekehrte Weg:
mü=300*18
c=600

$\begin{eqnarray*} P(|x-m|<600)=1-(300*V(x))/600^2 \end{eqnarray*}$

Warum darf man das einfach so machen? Ich dachte man führt eine neue Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y=300*X \end{eqnarray*}$ ein. Dann wär der Mittelwert ja ja richtig, aber $\begin{eqnarray*} V(Y)=V(300X)=300^2V(X) \end{eqnarray*}$ müsste da dann doch eigentlich gelten...

14.04.2006, 09:17

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Zitat:

Original von AmelieS.
Ich dachte mir, das ist ist erst ein 9-Stufiger Bernoulli-Versuch mit 2 Erfolgen. Dann muss da noch die Wahrscheinlichkeit, hinzugerechnet für den 3. Erfolg hinzugerechnet werden

Vollkommen richtig - warum machst du da nicht weiter, ist doch praktisch nur noch einsetzen.

Zitat:

Original von AmelieS.
Warum multiplizieren die einfach mit 2?

Ja warum? Das können wir dir auch nicht erklären, wenn du nur so einen Brocken hinwirfst - also wer multipliziert was mit 2 ...

Zitat:

Original von AmelieS.
Warum darf man das einfach so machen? Ich dachte man führt eine neue Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y=300*X \end{eqnarray*}$ ein. Dann wär der Mittelwert ja ja richtig, aber $\begin{eqnarray*} V(Y)=V(300X)=300^2V(X) \end{eqnarray*}$ müsste da dann doch eigentlich gelten...

Nein!!! Die Summenzufallsgröße ist eben nicht $\begin{eqnarray*} Y=300X \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} Y=X_1+X_2+\cdots+X_{300} \end{eqnarray*}$ . Für den Erwartungswert macht das keinen Unterschied, aber für die Varianz schon: $\begin{eqnarray*} V(Y)=V(X_1)+\cdots+V(X_{300})=300 V(X) \end{eqnarray*}$ , also nicht $\begin{eqnarray*} V(Y) = 300^2 V(X) \end{eqnarray*}$ .

14.04.2006, 16:35

AmelieS.

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Zitat:

Ja warum? Das können wir dir auch nicht erklären, wenn du nur so einen Brocken hinwirfst - also wer multipliziert was mit 2 ...

In der Lösung steht nur

$\begin{eqnarray*} n=9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X=2)*2=7,5% \end{eqnarray*}$

Wie kommen die darauf?

Zitat:

Also wenn ich den Mittelwert mal 300 nehme, addiere ich den Mittelwert formal 300 mal? und deswegen die Lösung?

edit: bil... hatte gerade nen kleinen fehler gemacht,aber müsste jetzt wieder passen Augenzwinkern

14.04.2006, 16:42

bil

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ok.... hab versehentlich statt zitieren deinen beitrag editiert, sorry... konnte aber zum glück noch auf dein alten beitrag zurückgreifen... jetzt müsste es wieder passen,hoffe ich doch.

jetzt zur aufgabe:

Zitat:

In der Lösung steht nur

$\begin{eqnarray*} n=9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X=2)*2=7,5% \end{eqnarray*}$

Wie kommen die darauf?

überprüfe einfach ob die rechnung stimmt. sprich ob die 7,5% mit der rechnung übereinstimmen...

gruss bil

14.04.2006, 16:43

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Der Erwartungswert einer Summe ist immer gleich der Summe der Einzel-Erwartungswerte.

Bei der Varianz der Summe ist es etwas komplizierter:
Sie ist gleich der Summe der Einzel-Varianzen, falls die Summanden unabhängige Zufallsgrößen sind. Auf Summen wie

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(300X) = \operatorname{var}(X+X+\cdots+X) \end{eqnarray*}$

lässt sich letztere Regel also nicht anwenden, denn die $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind ja jeweils dieselben und damit nicht voneinander unabhängig. Klar jetzt der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(300X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X_1+X_2+ \cdots +X_{300}) \end{eqnarray*}$ ?

14.04.2006, 19:28

AmelieS.

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ja. es kommt das gleiche Ergebnis heraus.

relativ klar. Ich kann die Regel anwenden, wenn die Ereignisse unabhängig sind. Was mache ich, wenn sie das nicht sind?

14.04.2006, 19:31

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Dann kommen Kovarianzen ins Spiel:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X+Y) = \operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y) + 2\cdot \operatorname{cov}(X,Y) \end{eqnarray*}$

entsprechendes dann bei einer Summe von mehr als 2 Zufallsgrößen.

15.04.2006, 02:55

bil

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Zitat:

Original von AmelieS.
ja. es kommt das gleiche Ergebnis heraus.

aha... bei mir kommt nicht das gleiche raus. oder meintest du was anderes mit der aussage?
auf jeden fall gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X=2)\cdot 2 \not=0.075=7,5% \end{eqnarray*}$

gruss bil

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