Monotonieverhalten

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14.04.2006, 15:37	Judy87w	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonieverhalten Hallo, habe folgende Aufgabe: k(x) = x^3-9x^2+27x+3 Zeigen Sie, dass die Funktion k auf ihrer gesamten Definitionsmenge [0;7] echt monoton zunimmt. Habe nun zuerst die Ableitung gebildet: k'(x) = 3x^2-18x+27 und durch die Diskriminate und Mitternachtsformel die Nullstelle x1 = 3 erhalten. Meine Frage ist nun: Meine Diskriminante = 0, also eine Nst., aber ist dass dann auch gleichzeitig eine Doppelte? In der Musterlösung steht folgendes: 1. k'(x) = 3x^2-18x+27 2. k'(x) = 3(x^2-6x+9) 3. k'(x) = 3(x-3)^2 Kann diesen Schritt von 2. auf 3. überhaupt nicht nachvollziehen. Kann mir jemand helfen? Danke! Judy
14.04.2006, 15:41	timi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonieverhalten Was ist die Mitternachtsformel? Aber der schritt von 2 auf 3 ist mit der Binomischen Formel gemacht worden...- sagt dir etwas oder...?
14.04.2006, 15:45	timi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonieverhalten ... ach und Mitternachtsformel ist die p-q-formel.... ok und bei einer Funktion wie sie bei Drittes steht kann man die Nullstelle einfach ablesen. Es gilt nämlich bei: f(x) = a*(x-d)^2+c , dass d die Nullstelle ist!!!
14.04.2006, 16:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Ableitung legt es nahe, aber mit scharfem Blick kann man auch ganz ohne Differentialrechnung $\begin{eqnarray} f(x)=(x-3)^3+30 \end{eqnarray}$ erkennen. Und so wie $\begin{eqnarray} g(x)=x^3 \end{eqnarray}$ streng monoton ist, so überträgt sich das auf $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , denn beide Graphen gehen durch bloße Verschiebung in x- und y-Richtung auseinander hervor.
14.04.2006, 16:26	Judy87w	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs leider nicht so ganz verstanden. Kann man dass denn so sagen: Wenn ich als Diskriminante = 0 bekomme, bekomme ich nur eine Nullstelle. Ist diese Nullstelle dann gleichzeitig eine doppelte oder woran kann ich dass erkennen wenn ich es nicht so wie in der Musterlösung mit der Binomischen Formel löse?
14.04.2006, 16:45	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Falle von $\begin{eqnarray} D=0 \end{eqnarray}$ hast du eine Lösung, d.h. deine Nullstelle ist auch nur einfacher Form, also vom Grad $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Gruß, mercany
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14.04.2006, 17:01	Judy87w	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie kann ich das dann erkennen, wenn ich es wie oben mit der P-Q Formel rechne? Also z. B. das Binom nicht erkenne. Dann habe ich als Diskriminante 0, also eine einfache Nst.???
14.04.2006, 17:12	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} D = 0 \end{eqnarray}$ ergibt eine Lösung $\begin{eqnarray} D > 0 \end{eqnarray}$ ergibt zwei Lösungen $\begin{eqnarray} D < 0 \end{eqnarray}$ ergibt keine Lösungen im Reellen Gruß, mercany
14.04.2006, 18:06	Judy87w	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ist schon klar. Mir geht es um die Vielfachheit der Nst. Ich bekomme ja dann durch die P-Q Formel x = 3. Aber woher weiß ich dass dies eine doppelte Nst. ist?
14.04.2006, 18:51	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel: $\begin{eqnarray} (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt{1-1} \\ &=& 1 \pm 0 \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} x_1 = 1 + 0 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = 1 - 0 = 1 \end{eqnarray}$ Gruß, mercany
14.04.2006, 19:05	Judy87w	Auf diesen Beitrag antworten »
Also habe ich ja bei Diskriminante = 0 immer x1,2 = X +- WURZEL 0 Also doch bei D = 0 immer eine Doppelte Nst.?
14.04.2006, 19:10	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »

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