uneigentl. Integrale - CH

14.04.2006, 17:36

Linchen

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uneigentl. Integrale - CH

Hi :-)

Habe eine Frage zum Causchy'schen Hauptwert:

Ich habe folgende uneigentlichen Integrale gegeben:

1. $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~\frac{dx}{\sqrt{\mid 1-x^2 \mid } } \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~\frac{x+1}{x^2-1} ~dx \end{eqnarray*}$

und nach dem CH kann ich das Integral ja "aufspalten"

zb für das 2.

$\begin{eqnarray*} \lim_{\alpha \to 0} \int_{0}^{1-\alpha}~ ... ~dx + \int_{1+\alpha}^{2}~ ... ~dx \end{eqnarray*}$

soweit ist mir das auch einleuchtend. aber wie kann ich dort jetzt weitermachen? integriere ich erstmal oder wie?

vielen Dank für eure Mühe

14.04.2006, 17:46

AD

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Ja, erstmal integrieren. Und dann $\begin{eqnarray*} \alpha\searrow 0 \end{eqnarray*}$ , also nur "von oben" gegen Null.

14.04.2006, 18:07

Linchen

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also die Stammfunktionen wären dann (habe leider im Moment noch kein Mathebuch bzw Tafelwerk unglücklich

unglücklich

):

1. $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~\frac{1}{0,5x*\sqrt{1+x^2}+0.5 arcsinh (x) } \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~ \frac{-x^2-2x-1}{(x^2-1)^2} \end{eqnarray*}$

...hoffe ich zumindest Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie meins du das "von oben" gegen null?

14.04.2006, 19:01

mercany

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Zitat:

Original von Linchen
also die Stammfunktionen wären dann (habe leider im Moment noch kein Mathebuch bzw Tafelwerk unglücklich

unglücklich

):

1. $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~\frac{1}{0,5x*\sqrt{1+x^2}+0.5 arcsinh (x) } \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~ \frac{-x^2-2x-1}{(x^2-1)^2} \end{eqnarray*}$

...hoffe ich zumindest Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie meins du das "von oben" gegen null?

Hallo.

Zu deinem ersten Integral kann ich dir leider nichts sagen, da weiß ich nicht, wie man mit den Betragsstrichen bei der Integration umgeht.

Die zweite ist m.A.n. nicht korrekt!
Wie kommst du darauf?

Außerdem ist die Notation nicht richtig.
Wenn das deine Stammfunktionen sein sollen, dann hat das Integralzeichen da nichts mehr zu suchen!

PS: Bei der ersten würd mich natürlich auch interessieren, wie du es gemacht hast. smile

smile

Gruß, mercany

14.04.2006, 19:21

Linchen

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ich habs versucht aus Integrationstabellen rauszusuchen (http://www-math.uni-paderborn.de/~orlob/...ionstabelle.pdf)...

aber scheint dann leider nicht so funktioniert zu haben... :/

gibts denn hier jemanden, der das zufällig weiß?! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie mach ich denn jetzt weiter - angenommen ich finde die Stammfunktionen noch raus ?

14.04.2006, 19:27

mercany

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Von dem Rest hab ich wie gesagt keine Ahnung, aber zu deinem zweiten Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x+1}{x^2-1} ~dx = \int_{}^{}~\frac{x+1}{(x+1)\cdot(x-1)} ~dx = \int_{}^{}~\frac{1}{x-1} ~dx \end{eqnarray*}$

und das ist jetzt wirklich ein Integral, was du in jeder Integrationstabelle wiederfindest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, mercany

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14.04.2006, 19:28

AD

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Drei unbestimmte Integrale sind für dein 1.Problem wichtig:

(1) $\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(x) + C \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ , im uneigentlichen Sinne sogar für $\begin{eqnarray*} |x|\leq 1 \end{eqnarray*}$

(2a) $\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-1}} = \operatorname{arcosh}(x) + C \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ , im uneigentlichen Sinne sogar für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$

(2b) $\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-1}} = -\operatorname{arcosh}(-x) + C \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ , im uneigentlichen Sinne sogar für $\begin{eqnarray*} x\leq -1 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du das nur noch geeignet "zusammenbasteln".

14.04.2006, 20:51

Linchen

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und das mach ich mit dem CH indem ich dann die Grenzen einfach verschiebe und dann einen Limes laufen lasse oder wie kann ich das anstellen?

14.04.2006, 21:16

AD

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Den CH brauchst du hier gar nicht (wie ich festgestellt habe), die Integrale existieren sogar im ganz normalen uneigentlichen Sinne.

14.04.2006, 21:27

Linchen

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Achso. Also ich komm dadrauf weil die Aufgabe sagt, dass man die Integrale bzw. deren Cauchyschen Hauptwert berechnen soll

14.04.2006, 21:30

AD

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Falls das Integral bzw. uneigentliche Integral existiert, dann auch der CH und er ist genauso groß. Nur falls die ersten zwei versagen, muss man den CH bemühen, der dann vielleicht doch existiert.

14.04.2006, 21:35

Linchen

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kannst du mir das mal an einem von den beiden als Beispiel zeigen?

14.04.2006, 21:52

AD

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$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^2~\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{|1-x^2|}} &=& \int\limits_0^1~\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{|1-x^2|}} ~ + ~ \int\limits_1^2~\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{|1-x^2|}} = \int\limits_0^1~\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} ~ + ~ \int\limits_1^2~\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-1}} \end{eqnarray*}$

Und die zwei Teilintegrale (beide sind nur uneigentlich wegen des Pols bei x=1) kannst du mit den von mir bereits oben angegebenen Stammfunktionen berechnen.

14.04.2006, 21:57

Linchen

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das heißt ich berechne jetzt die Integrale normal mit Ober- und Untersumme mithilfe der Stammfunktion, addiere beide und habe so den CH?!

14.04.2006, 21:58

AD

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Ober- und Untersumme??? geschockt

geschockt

Meinst du nicht eher obere und untere Grenze? Das ist etwas völlig anderes!

EDIT: Beim zweiten Integral brauchst du tatsächlich den CH. Und vorher den Integranden kürzen!

14.04.2006, 22:04

Linchen

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naja wenn ich doch nun die stammfunktionen und die grenzen habe, dann setze ich die doch quasi in meine Stammfkt ein und berechne?!

14.04.2006, 22:13

AD

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Aber ja doch.

Wenn du von CH und solchen Sachen sprichst, gehe ich eigentlich davon aus, dass du die Grundlagen der Integralrechnung kennst...

15.04.2006, 00:00

Linchen

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und beim ersten die Stammfunktion? dann berechne ich von 0 bis 1 und 1 bis 2? sehe ich das richtig?
komme nur leider nicht drauf wie ich von meinem Integral auf den CH komme?

15.04.2006, 00:12

AD

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Ich finde es immer wieder bedauerlich, mich wiederholen zu müssen:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Falls das Integral bzw. uneigentliche Integral existiert, dann auch der CH und er ist genauso groß.

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