Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene

14.04.2006, 18:16

JonasS

Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene

Ich habe Schwierigkeiten bei der folgenden Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene $\begin{eqnarray*} E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie eine reelle Zahl a so, dass die Gerade g die Ebene schneidet (zur Ebene E parallel ist).

a) $\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ a \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabenteil b und c lasse ich erstmal weg.

Jetzt habe ich erstmal ein LGS aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} 3+r+2s=2+2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3r+5s=1+at \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7+2r+7s=5+7t \end{eqnarray*}$

Durch umformen bekomme ich dann:
$\begin{eqnarray*} r+2s-2t=-1 \end{eqnarray*}$ (Gleichung 1)
$\begin{eqnarray*} 3r+5s-at=1 \end{eqnarray*}$ (Gleichung 2)
$\begin{eqnarray*} 2r+7s-7t=-2 \end{eqnarray*}$ (Gleichung 3)

Gleichung 1 * (-2):
$\begin{eqnarray*} -2r-4s-4t=2 \end{eqnarray*}$ (Gleichung 4)

Gleichung 4 + Gleichung 3:
$\begin{eqnarray*} 3s+3t=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow s=-t \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich $\begin{eqnarray*} s=-t \end{eqnarray*}$ in Gleichung 1 eingesetzt und erhalte:
$\begin{eqnarray*} r-4t=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r=1+4t \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} s=-t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=1+4t \end{eqnarray*}$ in Gleichung 2 einsetzte erhalte ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} 3+7t-at=1 \end{eqnarray*}$ (Gleichung 5)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a=7+\frac{2}{t} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} a=7+\frac{2}{t} \end{eqnarray*}$ in Gleichung 5 einsetzte erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 2=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ fällt weg und damit kann ich

1.) $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht ausrechnen
und
2.) kann mir keiner sagen, dass $\begin{eqnarray*} 2=-2 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Schonmal Danke im Voraus.

PS: Für $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ müsste g parallel zu E sein.

14.04.2006, 18:32

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo JonasS!

ich fürchte du kennst den Normalenvektor einer Ebene noch nicht, oder? Damit wäre das wesentlich einfacher.

14.04.2006, 19:17

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

da hast du dich vermutlich irgendwo verrechnet. ich habe
$\begin{eqnarray*} t=\frac{4}{a-5} \end{eqnarray*}$
also für a <> 5 hast du einen schnittpunkt, für a = 5 eine parallele gerade, wie du auch daran sehen kannst, dass dann der richtungsvektor von g ein spannvektor von E ist und der aufpunkt A(2/1/5) nicht in E liegt.
2 = -2 würde einen widerspruch bedeuten, woraus folgt, dass es keinen schnittpunkt gibt (dann habe ich mich verrechnet)
werner
und aros weg ist natürlich kürzer.

14.04.2006, 20:22

Sephiroth

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene

Zitat:

Original von JonasS

Jetzt habe ich $\begin{eqnarray*} s=-t \end{eqnarray*}$ in Gleichung 1 eingesetzt und erhalte:
$\begin{eqnarray*} r-4t=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r=1+4t \end{eqnarray*}$

besser
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r=-1+4t \end{eqnarray*}$

15.04.2006, 12:20

JonasS

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich glaube ich habe gerade ein Brett vorm Kopf, aber ich komme einfach nicht auf $\begin{eqnarray*} t=4_a-5 \end{eqnarray*}$ . Es muss natürlich $\begin{eqnarray*} r=-1+4t \end{eqnarray*}$ heißen. Da hab ich wohl einen Vorzeichenfehler gemacht LOL Hammer

.

Aber ich bräuchte mal einen Lösungsansatz um auf $\begin{eqnarray*} t=4_a-5 \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Danke

15.04.2006, 16:30

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

mit deinem ansatz:
III - 2 I => A) s = t
in I einsetzen => B) r = -1
in II A und B einsetzen
$\begin{eqnarray*} t=\frac{4}{5-a} \end{eqnarray*}$
werner

Neue Frage »

Antworten »

Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene

Verwandte Themen