Tangente, Flächeninhalt und weitere Probleme!

15.04.2006, 12:05

Milchshake

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Tangente, Flächeninhalt und weitere Probleme!

Hallo,

die Probleme hören nicht auf!

Für jede Reele Zahl k ungleich 0 ist eine Fuktion $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_k(x) =(-1/kx) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} ln x \end{eqnarray*}$ ; x e R, x > 0 . Ihr GRaph sei $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$

Ermitteln sie die Gleichung der TAngenten $\begin{eqnarray*} t_k \end{eqnarray*}$ und die der Normalen $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ , die sich im Punkt P (1/0) an den Graph $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$ (k>0) gelegt werden können.
Beide Geraden bilden mit der y-Achse ein Dreieck.
Geben Die sen Flächeninhalt für dieses Dreiecks in Abhängigkeit von k an.
Für Welchen Wert k<0 wird dieser Flächeninhalt minimal?
Wie viele Flächeneinheiten beträgt er für diesen Fall?
Für welche Werte k beträgt der Inhalt dieses Dreiecks 2,6 FE?

Also mein erster Ansatz ist das ich die 1. Ableitung bilden muss, da das doch irgendwas mit dem Anstieg zu tun hat!

$\begin{eqnarray*} y-y_0 = m(x-x_0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y-0=m(x-1) \end{eqnarray*}$

Mein Probelm ist nun aber der Anstieg!

Ich weiß auch das der ANstieg der Normalen

$\begin{eqnarray*} m_n = -1/m_t \end{eqnarray*}$ ist.

Danke für jede Hilfe!

15.04.2006, 12:07

marci_

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für die tangente gilt: f(x)=f'(x)*x+c also y=mx+c

15.04.2006, 12:10

Milchshake

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$\begin{eqnarray*} f´_k (x) = \frac{\ln(x)}{kx^2}-\frac{1}{kx^2} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut, aber irgendwie verstehe ich das nun nicht!

c wäre dann Null.

Also

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln(x)}{kx^2}-\frac{1}{kx^2} *x \end{eqnarray*}$

15.04.2006, 12:10

Ben Sisko

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RE: Tangente, Flächeninhalt und weitere Probleme!

Zitat:

Original von Milchshake
$\begin{eqnarray*} y-y_0 = m(x-x_0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y-0=m(x-1) \end{eqnarray*}$

Milchshakes Ansatz ist aber auch in Ordnung, man muss nicht zwingend y=mx+c verwenden.

@Milchshake: Nun musst du nch die Steigung der Tangenten rauskriegen. Was weiß man denn darüber?
Du sagst ja schon richtigerweise etwas mit der 1. Ableitung.

Gruß vom Ben

Edit: Ableitung ist richtig. Was meinst du mit c?Edit2: Ach, hab c entdeckt. Warum fährst du deinen Ansatz nicht weiter?
Du musst nun ausnutzen, dass die Steigung der Tangenten und die der Funktion in dem gegebenen Punkt gleich sind.

15.04.2006, 12:15

Milchshake

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1. Ableitung bilden, und den schon bekannten x wert einsetzten? Ist das der Anstieg?

EDIT: Ja fahrne wir mal meinen Ansatz weiter!

15.04.2006, 12:16

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Milchshake
1. Ableitung bilden, und den schon bekannten x wert einsetzten? Ist das der Anstieg?

Ja, dann erhälst du die Steigung in dem entsprechenden Punkt.

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15.04.2006, 12:18

Milchshake

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Also wenn ich da nun 1 einsetze für x, bekomm ich als Anstieg -1/k heraus. Ist das korrekt?

15.04.2006, 12:19

Ben Sisko

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Freude

Das kannst du nun für m in die Tangentengleichung einsetzen.
Und für die Normale hast du auch schon den richtigen Ansatz genannt.

15.04.2006, 12:22

Milchshake

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Also ist dann die Tangenten Gleichung

y = -1/k x + 1/k

Und die der Normalen

y = kx-1!

Richtig so!?

Könntest du die 2 Funktionen bitte Plotten? Bringe das nicht!

15.04.2006, 12:37

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Milchshake
Und die der Normalen

y = kx-1!

Hier hast du beim Ausrechnen die Klammer vergessen.

Plotten kann man dann nur für spezielle k, z.B.:

k=1

k=2

15.04.2006, 12:41

Milchshake

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Stimmt y = kx-k! Danke!

Danke fürs plotten hilft beim erarbeiten...!

Also laut Aufgaben Stellung muss k >0 sein. Also würde das nun stimmen.

Nur wie soll ich den Flächeninhalt angeben??

Da spielt doch sicher $\begin{eqnarray*} A_o= 1/2 g*h \end{eqnarray*}$ eine Rolle!

15.04.2006, 12:43

zweiundvierzig

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Richtig. Es gilt jetzt, die entsprechenden Seiten für die Werte deiner Formel zur Flächenberechnung einzusetzen.

15.04.2006, 12:46

Milchshake

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Danke auch dir, nur leider hilft mir der Ansatz nun kaum, hab einfach kombiniert das es was damit zu tun haben muss. Aber wie soll ich das nun anwenden?

15.04.2006, 12:48

Ben Sisko

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Schau dir das Dreieck mal an. Was nimmst du sinnvollerweise als Grundseite, was als Höhe?

15.04.2006, 12:52

Milchshake

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Als Höhe würde ich die Nullstelle nehmen und als Grundseite das Stück auf der y Achse, also die beiden Beträge von den c´s mit einander addieren

Grundseite also

$\begin{eqnarray*} 1/k + k \end{eqnarray*}$

Und die Höhe

$\begin{eqnarray*} 0 = kx - k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k = kx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

15.04.2006, 12:58

Ben Sisko

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Länge der Grundseite ist richtig.
Länge der Höhe ist einfach 1, wenn du das gemeint hast, also auch richtig (man hätte einfach die Länge vom Nullpunkt zum Schnittpunkt bestimmen können).

Das in die Formel einsetzen und auf geht's mit den Flächeninhaltsfragen!

15.04.2006, 13:04

Milchshake

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Ja so habe ich das gemeint!

Alles klar!

$\begin{eqnarray*} A = 1/2 ( 1/k + k) * 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = 1/2k + 1/2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = 2/ 2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A= 1/k \end{eqnarray*}$

Ist das nun richtig?

15.04.2006, 13:09

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Milchshake
Ja so habe ich das gemeint!

Alles klar!

$\begin{eqnarray*} A = 1/2 ( 1/k + k) * 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = 1/2k + 1/2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = 2/ 2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A= 1/k \end{eqnarray*}$

Ist das nun richtig?

Nein, in der 2. Zeile schreibst du zweimal denselben Summanden, meinst aber nicht denselben. Entweder musst du für den Nenner Klammern setzen oder besser: gleich den richtigen LaTeX-Befehl für einen Bruch benutzen

\frac{a}{b} gibt
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

15.04.2006, 13:09

zweiundvierzig

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Ich rate Dir, lieber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$ zu schreiben, um Fehlinterpretationen zu vermeiden. Multipliziere dann nochmal aus.

//Edit: Siehe Ben Sisko. smile

smile

15.04.2006, 13:11

Ben Sisko

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Ich rate Dir, lieber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$ zu schreiben, um Fehlinterpretationen zu vermeiden.

geschockt

Nicht nur das, er rechnet doch auch falsch weiter, hat es sogar selbst in der nächsten Zeile fehlinterpretiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.04.2006, 13:12

Milchshake

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Häää wie denn nun?

EDIT:

mein schon klar irgendwas is falsch, weil müsste ja im eneffekt eine FE raus kommen, so wird aber nur eine LE!

15.04.2006, 13:15

zweiundvierzig

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*k \end{eqnarray*}$ ?

15.04.2006, 13:16

Milchshake

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Na anders geschrieben.

$\begin{eqnarray*} \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$

15.04.2006, 13:17

zweiundvierzig

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Und das ist afaik etwas anderes als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$ . smile

smile

15.04.2006, 13:17

Ben Sisko

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Genau. Der andere Summand ist aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$

15.04.2006, 13:20

Milchshake

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Also ist:

$\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{2k} + \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$ ??

15.04.2006, 13:21

Ben Sisko

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Freude

15.04.2006, 13:23

Milchshake

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So da hätten wir das ja aus dem Weg geräumt! Freude

Freude

Was müss ich nun machen?

1. + 2. Ableitung und Ep´s bestimmen?

15.04.2006, 13:53

zweiundvierzig

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Genau!

Freude

15.04.2006, 14:27

Milchshake

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$\begin{eqnarray*} A_max(k) = \frac{1}{2k} + \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Astrich= {-2 k^-2} + \frac{2}{4} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

15.04.2006, 14:30

Milchshake

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Och was isn das nu wieder! Hab ich irgend nen Fehler drin, dieses latex is aba auch kompliziert! traurig

traurig

EDIT:

Gut hab nur die beste Lösung gefunden!

15.04.2006, 14:40

Sponge)Bob(

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könnt ihr mir mal weiterhelfen wie ihr auf die Steigung der Tangente kommt? das c = 1 / k ist versteh ich ja.. aber ich komm nicht auf die steigung...

Ich hab fk´(x) = m

also g(x) =fk´(x) * x + 1/k

Das wär dann doch die Tangentengleichung oder?

komm da nicht auf die gleichung die ihr habt unglücklich

unglücklich

.. wo is mein fehler?

15.04.2006, 14:49

Milchshake

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Wie haben die erste Ableitung von der Ausgangsfunktion gebildet. und da ja nun schon ein Punkt gegeben ist, ahbenw ir einfach die x-werte in die 1. Ableitung eingesetzt. So kommt man auf den Anstieg.

dann haben wir alles in

$\begin{eqnarray*} y-y_0 = m(x-x_0) \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} P ( x_0/y_0) = P (1/0) \end{eqnarray*}$

Soweit verstanden?

15.04.2006, 15:23

Sponge)Bob(

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mh.. nicht so ganz :/
wie würde die Tangente denn aussehen, wenn diese durch den punkt (1|1) gehen sollte?

so zum verständnis..

habs versucht .. kriegs aber nicht hin ..

15.04.2006, 15:40

zweiundvierzig

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Ich hoffe, Deine Frage richtig verstanden zu haben.

Dann würdest du eben jeweils für x und y 1 einsetzen. verwirrt

verwirrt

Oder wie meintest Du das?

15.04.2006, 16:03

Sponge)Bob(

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jo so hab ich das gedacht..

das die Tangente für jedes k halt nicht durch den Punkt 1/0 sondern 1/1 geht..

für das c hätte man dann ja 1= fk´(1) + c richtig?
dann wär c = 1+1/k
und um die Steigung zu bekommen muss ich in fk´(1) = 1 ?
dann hab ich die Steigung von g(x) also m?

naja ich blick das irgendwie nicht.. war nur so ne idee ums vllt zu verstehen

15.04.2006, 17:20

Sponge)Bob(

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najo.. so wie ich mir das gedacht hab kann das ja gar nicht gehen..
gibt ja gar keine tangente die durch den punkt 1/1 geht..also nicht für die funktion..
habs mir grad ma mitm f(x) viewer angeguckt.. also egal

16.04.2006, 10:08

Milchshake

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Zitat:

Original von Milchshake
$\begin{eqnarray*} A_max(k) = \frac{1}{2k} + \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Astrich= {-2 k^-2} + \frac{2}{4} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Kommen wir wieder zurück zum Thema!

16.04.2006, 22:52

zweiundvierzig

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Ich geb dir mal als Ansatz:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}k^{-1}+\frac{1}{2}k \end{eqnarray*}$

17.04.2006, 11:17

Milchshake

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Also!

$\begin{eqnarray*} A'(k) = -\frac{1}{2}k^{-2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A''(k) = k^{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{2}k^{-2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_2 = -1 \end{eqnarray*}$

1 wäre dann der Minimumwert, für den geringsten Flächeninhalt. Also haben wir schon eine Frage weg!

$\begin{eqnarray*} A''(k) = k^{-3} \end{eqnarray*}$

"Geben sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von k an"

Na wenn k negativ ist wird er größer und wenn er positiv ist, wird er kleiner. Oder sehe ich das falsch??

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