geometrische Bedeutung des Skalarprodukts

15.04.2006, 13:17	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische Bedeutung des Skalarprodukts Hi! Kann man die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts in etwa so auffassen: Das Skalarprodukt ist die Fläche des Rechtecks, das entstünde, wenn die Vektoren a und b ein Rechteck aufspannen würden. Klingt ein bisschen merkwürdig, aber ich denke das stimmt, oder? Der projizierte Vektor b auf a hat schließlich die Länge b*cos(alpha). Wisst ihr was ich meine? aRo
15.04.2006, 15:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Wenn die Vektoren ein Rechteck bildeten, wäre dessen Fläche allerdings $\begin{eqnarray} A_R = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \end{eqnarray}$ Deshalb stimmt dies nicht, denn die Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogrammes lautet $\begin{eqnarray} A_P = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot sin(\alpha) \end{eqnarray}$ Lässt man die Vektoren nun den Komplementärwinkel $\begin{eqnarray} \alpha' = 90° - \alpha \end{eqnarray}$ einschließen, so lautet die Fläche des neuen Parallelogrammes nunmehr $\begin{eqnarray} A'_P = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot sin(90° - \alpha) = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot cos(\alpha) = \vec{a} \cdot \vec{b} \end{eqnarray}$ !! mY+

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