Geraden und Ebenen

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15.04.2006, 16:10	bettina	Auf diesen Beitrag antworten »
Geraden und Ebenen hallo! ich versuche gerade mal eine probe-klausur durchzurechnen und hänge fest. vllt hat ja jemand zeit & lust mir zu helfen. gegeben sind die punkte A (1/3/-1) B(2/1/1) C(s-3/11-2s/2s-9) g:x= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + k $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ h sei die gerade durch A und B. a) Bestimm einen Punkt D auf g so, dass die Gerade g* durch C6 und D orthogonal zu g ist. Weise nach, dass das Dreieck AC6D gleichschenklig ist. b) zeige, dass sich die geraden g und h in A schneiden und berechne den schnittwinkel zwischen g und h. Welche vermutung könnte sich daraus für die lage von C6 ergeben. zeige, dass dies dür jedes cs gilt. (kann ich nicht!) Auf welcher Geraden g`liegen alle Cs? (kann ich nicht!) c) Ermittle eine Gleichung der Ebene E, die den Punkt A enthält und senkrecht zu h liegt. Bestimme den Abstand des Punktes Cs von E. d) der parameter s soll nun selbst von einem weiteren parameter t abhängen: s = s(t) es sei s(t)=t^2 + 4t + 9 beschreibe die "bewegung", die der punkt Cs(t) in Abhängigkeit von t auf der Geraden g`ausführt und brechne den minimalen Abstand, den Cs(t) zur Ebene E erreichen kann. Lösung: a) konnte ich komplett. D(4/3/2) b) g und h schneiden sich wirklich in A, der schnittwinkel beträgt 45 grad. die vermutung ist: C6 liegt auf h. Aber wie weise ich das jetzt für alle Cs nach???? und wie mache ich das mit der geraden g`??? c) E ist x1 - 2x2 + sx3 = -7 abstand hab ich auch raus gekriegt mit HNF. d) kann ich komplett nicht! wäre toll, wenn jemand lust und zeit hat, sich da reinzuarbeiten!!! DANKE schonmal!
15.04.2006, 16:59	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
der Punkt $\begin{eqnarray} C_s=\begin{pmatrix} -3+s \\ 11-2s \\ -9+2s \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ lässt sich einfach in eine Parameterform einer Geraden umwandeln: $\begin{eqnarray} C_s=\begin{pmatrix} -3+s \\ 11-2s \\ -9+2s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 11 \\ -9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Damit ist gezeigt, dass Cs eine Gerade ist. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass Cs mit der Geraden h identisch ist.
15.04.2006, 17:18	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
15.04.2006, 17:40	bettina	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, der tipp war schon mal super!! hat vllt noch jemand nen rettenen einfall zu den anderen fragen?
15.04.2006, 18:23	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
zu deinen letzten Fragen: auch wenn der Parameter s durch $\begin{eqnarray} s(t)=t^2+4t+9 \end{eqnarray}$ ersetzt wird, die Gerade bleibt diesselbe, weil auch der Stützvektor und der Richtungsvektor gleich bleiben. Wenn man jetzt weiterüberlegt, dass $\begin{eqnarray} C_{s(t)}=g'=h \end{eqnarray}$ ist, dürfte die Aufgabe d) mit ein paar Gedanken mehr gelöst sein. Überleg mal welcher Zusammenhang zwischen der Geraden h und der Ebene besteht.
15.04.2006, 19:00	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke mrpsi hat recht. ich habe es mal ganz pragmatisch gemacht $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix}-3 \\11\\ -9 \end{pmatrix} +(t^{2}+4t+9)\begin{pmatrix} 1\\-2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ pragmatisch bedeutet ja stur, konsequent, oder es fällt einem sonst nichts ein. das liefert I) $\begin{eqnarray} x=6+t^{2}+4t \end{eqnarray}$ II) $\begin{eqnarray} y=-7-2t^{2}-8t \end{eqnarray}$ II) $\begin{eqnarray} z=9+2t^{2}+8t \end{eqnarray}$ II + III: y + z = 2 2 I + II: 2x + y = 5 und mit y = - 2t hat man erstaunlicherweise wieder: $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2.5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}1 \\-2 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und das ist genau die gerade h. das nennt man boshaft. werner (und die moral von der geschichte: da s bzw. s(t) ein freier parameter ist, ist es eigentlich ganz wurscht, wie ich ihn verpacke.)
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16.04.2006, 11:25	bettina	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal danke für die weitern antworten! ich hab selbst noch mal ein bisschen rumgerechnet und würde gerne wissen, was ihr davon haltet. ich hab Cs in eine gerade umgeschrieben (war ja auch ganz einfach, wenn man drauf kommt, dass das überhaupt geht!). damit hab ich ja g`. meine vermutung vorher war ja, dass Cs auf h liegt. und als beweis, dass das für alle Cs gilt, hab ich dann die geraden g`und h überprüft und hab fastgestellt, dass die identisch sind. das reicht doch eigentlich oder? ich meine, das ist zwar ein vorgriff in der aufgabe, weil ich ja erst mit g`die aufgaben davor beantworte, aber ich wüsste nicht, wies anders geht. zu werner: das hab ich nach 5 maligen durchlesen auch verstanden, aber ist doch recht kompliziert, da da das t ja noch keine rolle spielt, oder?? zu d) die "bewegung" die da erfragt ist, macht mir noch zu schaffen. ist damit einfach nur gemeint, dass der punkt Cs(t) auf der geraden g`hoch und runter wandert? und zum minimalen abstand. das hab ich mit HNF gemacht und dann den punkt Cs(t) eingesetzt. ich komme da auf 3t^2 + 12t + 15 was sagt ihr dazu?? danke nochmal und frohe ostern!!
16.04.2006, 18:50	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
der Beweis, dass g´und h identisch sind, reicht vollkommen. zu d) ja, man kann sagen dass sich der Punkt auf der Geraden auf und ab bewegt, wobei man dann annehmen muss, dass der Parameter t nacheinander alle Werte durchläuft und s(t) somit eine Parabel bildet. Und für den minimalen Abstand brauchst du gar keine Berechnungen. Du weisst, dass g´=h ist, und weil der Punkt A sowohl auf der Geraden h als auch auf der Ebene E liegt, weiss man ohne jede weitere Berechnung, dass sich Ebene und Gerade schneiden und der minimale Abstand somit 0 sein muss.
17.04.2006, 11:00	bettina	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für eure antworten! hab alles verstanden

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