Determinanten Formel

15.04.2006, 20:22

Nossa1

Determinanten Formel

Hi!

Ich verstehe die Determinantenformel

$\begin{eqnarray*} \sum_{\pi \in perm(n)}~sign(\pi)\cdot a_{1,\pi(1)} \cdot a_{2,\pi(2)} \cdot ... \cdot a_{n,\pi(n)} \end{eqnarray*}$

irgendwie nicht richtig.

Wenn ich doch die Determinante einer Matrix $\begin{eqnarray*} A= (a_{ij})_{i=1,2,3; j=1,2,3} \in R^{3x3} \end{eqnarray*}$ berechnen möchte, dann geht das doch nach der Sarrus Regel und det A ist $\begin{eqnarray*} a_{11}\cdot a_{12}\cdot a_{33} - a_{11}\cdot a_{23} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot a_{32} -a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33} -a_{13} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot a_{22}\cdot a_{31} +a_{12}\cdot a_{13}\cdot a_{11} + a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32} \end{eqnarray*}$

Das sind sechs Produkte mit jeweils drei Faktoren. Die j's der Faktoren geben in einer Reihe geschrieben jjj die Permutationen von 3 mit dem entsprechenden Signum 123, 132, 213, usw.

Ich kann aus der Formel nur nicht rauslesen, wie jetzt die unterschiedlichen Kombinationen der Indices i in den Produkten zustande kommen verwirrt

Wie ordnet man denn jetzt die richtigen j's den passenden i's zu ? Denn ich wollte das ganze mal für n=4 aufschreiben und blicke nicht so richtig durch.

Vielen Dank für eure Hilfe smile

15.04.2006, 20:43

zeta

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nimm dir zunächst mal ein paar konkrete beispiele vor. per sarrus kennst du das ergebnis und kannst daher wissen, was heraus kommen muss bei der berechnung mit der anderen formel, die ja nun mal das selbe ergebnis liefern sollte

edit: bei nochmaligem durchlesen deines freds mal folgende frage: für 3x3-matrizen betrachtest du die

$\begin{eqnarray*} \pi\in S_3 = \{ [123], [132], [213], [231], [312], [321] \} \end{eqnarray*}$

wie ist nun das signum einer permutation definiert, und was ist damit etwa das signum von [231], was kurz geschrieben steht für

1 -> 2, 2 -> 3, 3 -> 1

15.04.2006, 21:16

phi

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@zeta : hat Nossa doch schon gemacht...nur

@ Nossa: du hast die Sarrusregel falsch angewandt/hingeschrieben:

Deine Multiplikation springt in der Matrix rum wie ein Springer auf dem Schachbrett ! Sollte aber, um bildlich zu bleiben wie ein Läufer, also diagonal laufen:

richtig ist:

$\begin{eqnarray*} a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33} - a_{11}\cdot a_{23} \cdot a_{32} + a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31} -a_{12} \cdot a_{21}\cdot a_{33} +a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32} - a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31} \end{eqnarray*}$

Jetzt siehst du auch schön, dass über i nicht permutiert wird; es läuft immer 1,2,3 -1,2,3 + 1,2,3 -... .

"jjj" ist übrigens schlecht ausgedrückt, besser wäre zu sagen:

$\begin{eqnarray*} \pi (j), fuer ~ j=1,2,3 ~ \end{eqnarray*}$ oder einfach $\begin{eqnarray*} ~ \pi (1), \pi (2), \pi (3) ~ \end{eqnarray*}$

mfg, phi smile

15.04.2006, 21:22

JochenX

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Zitat:

Original von zeta
$\begin{eqnarray*} \pi\in S_3 = \{ [123], [132], [213], [231], [312], [321] \} \end{eqnarray*}$

das ist aber nicht die S3, wenn das Zykel sein sollen.....

$\begin{eqnarray*} S_3=\{id, (12), (13), (23), (123), (132)\} \end{eqnarray*}$

15.04.2006, 23:19

Nossa1

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@phi Stimmt, da liegt der Fehler, dann müsste es auch klappen.

THX

16.04.2006, 00:29

zeta

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@LOED: ich sage doch, was ich unter der schreibweise verstehe, nämlich, dass etwa [231] kurz für die Permutation "1->2,2->3,3->1" steht. S_n ist die Menge aller bijektiven Abbildungen {1,...,n}->{1,...,n} und damit gilt doch wohl

$\begin{eqnarray*} S_3 = \{ [123], [132], [213],[231],[312],[321] \} \end{eqnarray*}$

18.04.2006, 00:36

JochenX

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Zitat:

[231] kurz für die Permutation "1->2,2->3,3->1"

ich sehe schon, wo das Missverständnis anfing
Fass das mal als Zykel auf, da heißt es nix anderes als das, was du aufschreibst, nämlich das erste auf das dritte usf.

geklärt, du gibst einfach die Reihe ["Bild vom ersten Element", "Bild vom zweiten Element",...,] an

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