Extremwertaufgabe

13.05.2004, 15:30	Hans-Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe hallo. Ich hab ein Problem mit der Aufgabe und wär euch dankbar, wenn ihr mir helfen könntet: Einer Kugel mit Radius R wird ein Zylinder einbeschrieben. Welche Höhe h und welcher Radius r hat der Zylinder bei maximalem Volumen? Also ich weiss: Volumen vom Zylinder ist V=r²(phi)h Und Volumen Kugel: V=4/3r³(phi) Meine Hauptbedingung ist doch V=r²(phi)h, oder? Der Lehrer meinte, die Aufgabe ist so allgemein. Danke für eure Hilfe.
13.05.2004, 15:37	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Also , deine HAUPTBEDINGUNG heisst anderswo ZIELFUNKTION und wiurde von dir richtig erkannt. Zeichne doch einmal einen Querschnitt des Problems längs einer Mittelachse. dann erhältst du ein Rechteck in einem Kreis. Darin kannst du dann besser weiterdenken, um die Nebenbedingung herauszufinden. :] jophko
13.05.2004, 16:15	lynggs	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Es heisst wohl pi nicht phi! meines Wissens löst man die Aufgabe so: Einheitskreis im Koordinatensystem zeichnen um Nullpunkt. Im EInheitskreis ein zur x- und y-Achse symmetrisches Rechteck zeichnen, das einen der möglichen Zylinder darstellt. Der Zylinder (dargestellt als Rechteck) berührt den Kreis im Punkt x1, y1. Der Radius des Zylinders ist = x1, seine Höhe 2y1. Der Kreis hat natürlich die Gleichung x^2 + y^2 = 1 resp. y=Wurzel aus(1-x^2) Die Aufgabe besteht nun darin, den Radius des Zylinders so zu bestimmen, dass sein Volumen maximal wird. Nennen wir den variablen Radius des Zylinders = x und betrachten wir wegen der Symmetrie nur Werte 0<x<1. Die Zylinderhöhe ist dann = f(x) = y Sein Volumen ist V = 2 x^2 * Pi * y= 2 * x^2 * Pi * Wurz(1-x^2) Für diese Funktion musst du nun das Maximum suchen. Viel Glück
13.05.2004, 16:24	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
damit du es nicht ganz mit lynggs machen musst, hier ein Bild:
13.05.2004, 16:53	lynggs	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Johko Danke für deine tolle Zeichnung. Sie beweist, dass ich mich exakt ausgedrückt habe. Schönen Abend
13.05.2004, 16:58	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hast du! :] Zumindestens für den Sonderfall r=1. Johko
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13.05.2004, 22:27	Hans-Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
wow cool, vielen dank für eure hilfe. werd in zukunft glaub ich nochmal kommen, weil ich des ned ganz drauf hab. aber ich bemüh mich. danke :-)
17.05.2004, 13:42	Hans-Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Ich habe schon wieder ein Problem und zwar zu der Aufgabe: Einem Kegel (Radius R, Höhe H seien gegeben) soll ein zweiter Kegel (Radius r, Höhe h) so einbeschrieben werden, dass seine Spitze im Grundkreismittelpunkt des ersten Kegels liegt. Wie sind r und h zu wählen, damit das Volumen des einbeschriebenen Kegels maximal wird? Ja also als Hauptbedingung hab ich ja wieder V=1/3r² $\begin{align} \pi \end{align}$ h Auf die Nebenbedingung komm ich nicht. Könnte mir da wieder bitte jemand helfen? Kann man was mit dem Strahlensatz machen? Danke

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