Quadrat - 2 Eckpunkte bestimmen!

15.04.2006, 22:21

aRo

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Quadrat - 2 Eckpunkte bestimmen!

Hi!

Kennt ihr diese Aufgabe schon?

Die Strecke BH ist eine Diagonale des Quadrates BUHV, das in der Ebene $\begin{eqnarray*} E_3: 2x_1+2x_2+x_3 = 12 \end{eqnarray*}$ liegt. Bestimmen Sie die Koordinanten der Punkte U und V.

B und H sind gegeben: B(3|3|0), H(1|1|8)

Finde die Aufgabe sehr interessant, und habe bis jetzt zwei Lösungswege gefunden.
Ihr könnt euch die Aufgabe ja auch mal anschauen, finde ich supi zum Üben!

1. (der wohl längere):

Da es ein Qudrat ist, kann man sich errechnen, dass eine Seite 6LE sein muss.
Der Punkt V sowie auch U erfüllen die Gleichung der Ebene und $\begin{eqnarray*} |\vec{BV}|=6 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |\vec{HV}|=6 \end{eqnarray*}$ (oder halt entsprechend mit U). Daraus erhält man 3 Gleichungen, aus denen man zwei "Lösungstripple" erhält, die Punkte U und V.

2. Man bestimme eine Gerade, auf der U und V liegen. Man bestimme den Mittelpunkt der Diagonalen BH. Man bestimme $\begin{eqnarray*} |\vec{MB}| \end{eqnarray*}$ ..etc.

15.04.2006, 22:32

rain

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jop,kenne ich,haben wir aufm übungsblatt mal ausgeteilt bekommen
glaub sogar,dass war mal ne abiaufgabe...

15.04.2006, 22:40

aRo

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glaub auch, BW ABitur irgendwann Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.04.2006, 22:48

Poff

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Das ist sehr einfach zu rechnen.

Berechnest D = (B-H) x N

(B+H)/2 +- D/|D|*|B-H|/2 = U,V

Edit,
soo war das natürlich gemeint, wär ja sonst unsinnig gewesen
das Kreuz zu berechnen ...

15.04.2006, 22:56

riwe

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weg 2 ist hübsch, wie von poff beschrieben:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\2 \\ 4 \end{pmatrix} \pm \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ -1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
werner

15.04.2006, 23:00

Poff

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Werner
ich hatte mich verschrieben, ich denke du hast das berücksichtigt

Edit
Stimmt so, sqrt(2) hättest weglassen können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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16.04.2006, 00:09

Bjoern1982

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Bei aRos erstem Lösungsvorschlag stören ja die Quadrate der einzelnen Koordinaten des gesuchten Punktes wenn man das entstehende Gleichungssystem lösen will.
Oder kann man das irgendwie vermeiden?

Nur um sicherzugehen, dass ich den zweiten Lösungsvorschlag richtig verstehe:

Man konstruiert sich mittels Vektorprodukt der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{BH} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{n_E} \end{eqnarray*}$ einen Vektor, der senkrecht zu diesen beiden ist und die gewünschte Richtung vom Mittelpunkt M zum Eckpunkt U oder V weisen kann.
Die Länge des Vektors soll der Länge des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{MH} \end{eqnarray*}$ entsprechen, weshalb man diesen durch das Kreuzprodukt entstandenen Vektor noch normieren muss, also auf die Länge 1 bringt durch die Division seiner Länge, und letztendlich mit $\begin{eqnarray*} \vec{MH} \end{eqnarray*}$ multipliziert, so dass

$\begin{eqnarray*} \vec{OV}= \vec{OM}\pm|\vec{MH}| \cdot \frac{(\vec{BH} \times \vec{n_E})}{|(\vec{BH} \times \vec{n_E})|} \end{eqnarray*}$ gilt.

Woher weiss man, ob man jetzt vom Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{OM} \end{eqnarray*}$ addiert oder subtrahiert, um auf die Koordinaten von V und U zu kommen?

Gruß Björn

16.04.2006, 01:59

MAX-NEUSS

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björn, muss man nicht erst hinterher normieren, sprich kreuzprodukt aus BH x nE durch dessen betrag teilen?

Thema erledigt: sehe du hast es geändert

16.04.2006, 02:21

Poff

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Du hast das völlig richtig verstanden.

Zitat:

Original von Bjoern1982
Woher weiss man, ob man jetzt vom Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{OM} \end{eqnarray*}$ addiert oder subtrahiert, um auf die Koordinaten von V und U zu kommen?
Gruß Björn

Das könnte man wissen wenn man sich näher um die
Orientierung der Vektoren beim Kreuzprodukt usw kümmert.
Ich hab das der Einfachheit offengelassen wei es etwas eagal ist
welchen Punkt man nun mit U bzw V bezeichnet. Sollten die
zwingend in der vorgenannten Orientierung bezeichnet werden
dann musst das noch nachbügeln, oder beim Kreuzprodukt
überlegen was entsteht und wo der Vektor hinzeigen wird.
Dazu musst aber zwingend wissen wo der Ebenennormalenvektor
in Relation zu BH oder HB hinzeigt.
Insgesamt halt ich das jedoch für leicht fehleranfällig, sodass es

sicherer und einfacher sein dürfte die entstehenden Punkte
anders zu verifizieren bzw zuzuordnen. Lass dir was einfallen
.

Du hast es zwar richtig beschrieben, aber deine Formel für
OV ist falsch, schau dir dazu nochmal meine an.

16.04.2006, 02:46

Bjoern1982

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Habs geändert, da hab ich wohl irgendwas durcheinander editiert...
Naja, natürlich muss man durch die Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{BH} \times \vec{n_E} \end{eqnarray*}$ dividieren, um ihn zu normieren.

Ach ja, noch irgendeinen Kommentar zu meiner Frage bezüglich der Lösung durch ein Gleichungssystem?

Gruß Björn

16.04.2006, 03:08

Poff

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Bei aRos erstem Lösungsvorschlag stören ja die Quadrate der einzelnen Koordinaten des gesuchten Punktes wenn man das entstehende Gleichungssystem lösen will.
Oder kann man das irgendwie vermeiden?

Ich glaube nicht.
Morgen werd ich evtl nochmal drüber nachsinnen,
vielleicht fällt mir was anderes ein, oder Werner oder sonstwem.

16.04.2006, 09:09

riwe

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Zitat:

Original von Poff

Stimmt so, sqrt(2) hättest weglassen können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

habe ich absichtlich so stehen gelassen, um die normierung zu verdeutlichen
werner

16.04.2006, 09:57

aRo

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Hi Bjoern1982:

das mit dem Gleichungssystem ist gar nicht so wild.

Wenn ich jetzt hier nicht in meinen Unterlagen durcheinander gekommen bild, lautet das ja so: (a ist die erste Koord. des Punktes etc.)

$\begin{eqnarray*} 2a+2b+c =12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2-2a+b^2-2b+c^2-16c=-30 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2-6a+b^2-6b+c^2=18 \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt die zweite und dritte Gleichung subtrahierst, fallen schon alle Quadrate weg. Dann noch die erste mal 2 nehmen und mit der neu entstanden subtrahieren. Und schwupps erhälst du c. Danach ists ja nur noch Formsache Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das mit dem Problem welcher jetzt U und welcher V ist habe ich mich auch schon gefragt. Meint ihr das ist in der Aufgabe verlang da zu unterscheiden? Müsste ich mir vielleicht auch nochmal Gedanken machen...hmm..

aRo

16.04.2006, 11:52

Bjoern1982

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Stimmt, das bekommt man dann ja doch noch ganz gut hin.
Hatte ich noch gar nicht soweit aufgeschrieben, mich hatten da direkt die Quadrate abgeschreckt geschockt

geschockt

Danke für deine Antwort Wink

Wink

16.04.2006, 14:15

incass

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Die fehlenden Punkte U und V ergeben sich als Schnittpunkte der Kugel

$\begin{eqnarray*} K: [\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}]^{2} = 36 \end{eqnarray*}$

mit der Geraden

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+ n \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+ n \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}]^{2} = 36 \end{eqnarray*}$

[...] k = +/ - 3

in g einsetzen:

und man erhält die Punkte

U(-1/5/5) und V(5,1,4) je nachdem wie man das betrachtet.

-----

Die Gerade geht durch die Hälfte der Diagonale und hat einen Vektor, der senrkecht zu E und dem Verbindungsvektor der in der Aufgabenstellung gegebenen Diagonale ist.

Die Kugel enthält alle Punkte, die von B(3/3/0) den Abstand d = 6 besitzen.

\\edit: auch wenn manche Wege, die hier vorgestellt wurden günstiger sind ist mein Weg vielleicht eine kleine Alternative Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2006, 14:18

aRo

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auch ein netter Ansatz, doch gefällt mir auch gut. Jetzt haben wir schon drei Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2006, 14:20

incass

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Ja, nur das von Werner/Poff ist mit Sicherheit das einfachste.

16.04.2006, 16:12

Poff

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Zitat:

Original von incass
\\edit: auch wenn manche Wege, die hier vorgestellt wurden günstiger sind ist mein Weg vielleicht eine kleine Alternative Augenzwinkern

Augenzwinkern

dein Weg ist keine echte Alternative, das ist nur eine andere
rechentechnische Realisierung der Variante 2 von oben,
vielleicht etwas leichter verständlich.

Mir ist keine weitere SINNVOLLE EINFACHE Variante zur Meth.1
eingefallen, sodass es bei der 1) als der Alternative beiben dürfte.

Wenn es nicht um ein Quadrat ginge, müsste fast zwingend
(außer für mich) auch auf die 1) zurückgegriffen werden.

25.02.2007, 19:50

mondo

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...
Guter Aufstellungsort, ja! http://www.flryanair.org/mondo

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