Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen

16.04.2006, 11:56

MAX-NEUSS

Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen

Hallo,

Also ich bin bis dato immer folgendermaßen vorgegangen:

Schnittgerade bestimmen, und um den zweiten Spannvektor ergänzen, welcher entweder die Summer oder die Differenz der beiden Normaleneinheitsvektoren ergibt.

So nun bin ich auf ein weiteres verfahren gestoßen.
2 Ebenen in Koordinatenform nach 0 auflösen, auf hesseische Normalenform bringen, und gleichsetzen.

Kann mich bitte jemand aufklären wieso das auch geht?

grüße

16.04.2006, 12:09

lornz

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Damit solltest du erstmal nur die Schnittgerade der Ebenen herausbekommen. Die Winkelhalbierende Ebene ist das aber meiner Meinung nach noch nicht!

16.04.2006, 12:12

MAX-NEUSS

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Hey, danke für deine Antwort...

hmm also eine Ebene kommt da schon raus, es werden ja keine Parameter eliminiert, nach dem gleichsetzen haben wir immernoch $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, und, x_3 \end{eqnarray*}$

und genau das verwirrt mich, dachte auch dass eher nur ne schnittgerade rauskommen sollte! (Beim Gleichsetzen von 2 Ebenen)

grüße

16.04.2006, 12:26

incass

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Die winkelhalbierende Ebene (zur zwei Ebenen E1 und E2 ) hat die Eigenschaft, dass jeder Punkt auf ihr den gleichen Abstand sowohl zu E1 als auch zu E2 hat.
Die hess'sche Normalform bestimmt den Abstand eines Punktes zu einer Ebene.

Setzt man die hess'schen Normalformn der Ebenen gleich, fordert man, dass für die Koordinaten x - y und z gilt, dass sie sowohl den gleichen Abstand zu E1 als auch zu E2 haben. Da das Gleichsetzen der HNF's keine eindeutige Lösung liefert, sondern unendlich viele Lösungen in Abhängigkeit von x -y und z, entsteht genau das, was man sich unter einer Ebenengleichung vorstellt.

//edit: Weiß nicht ob das so rübergekommen ist, hier nochmal auf den Punkt gebracht: Durch das Gleichsetzen sucht man also die Menge der Punkte, die zu beiden Ebenen den gleichen Abstand haben.

Um also die beiden winkelhalbierenden Ebenen zu erhalten rechnet man:

W1: E1 + E2
W2: E1 - E2

(E1 u. E2 sind die Hess'schen normalformen der entsprechenden Ausgangsebenen)

16.04.2006, 12:28

MAX-NEUSS

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danke, genau das hab ich gebraucht!!
Mit Zunge

16.04.2006, 13:04

aRo

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der gleichsetzungsweg war mir auch geläufig, aber deiner hier:

Zitat:

Schnittgerade bestimmen, und um den zweiten Spannvektor ergänzen, welcher entweder die Summer oder die Differenz der beiden Normaleneinheitsvektoren ergibt.

nicht. Könntest du das vielleicht netterweise an einem Beispiel vorführen? smile

16.04.2006, 13:15

incass

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das wär mir auch sehr recht !

16.04.2006, 13:20

MAX-NEUSS

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Mach ich doch gerne:

also sagen wir wir haben zwei Ebenen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

Daraus bestimmen wir die Schnittgerade.
Wir wissen ja alle wie das geht, raus kommt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So die Winkelhalbierende ebene beinhaltet ja logischerweise die Schnittgerade, und aufgespannt wird diese halt noch mit dem Richtungsvektor auf dem alle punkte zu Ebene A als auch zu ebene B den gleichen Abstand haben!

das wäre die Summe der beiden Normaleneinheitsvektoren oder die differenz...es gibt ja immer 2 Winkelhalbierende ebenen!

Also machen wir erstmal die Normaleneinheitsvectoren:
$\begin{eqnarray*} E1: \vec{n_0} = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} }{\sqrt{14} } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} E2: \vec{m_0} = \frac{\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} }{\sqrt{6} } \end{eqnarray*}$

So ich mache das nur für eine Ebenen-Winkel-Halbierende.
Richtungsvector ist demnach
$\begin{eqnarray*} \vec{k} = \frac{\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} }{\sqrt{6} } + \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} }{\sqrt{14} } = [-0.2819740971, -1.210032016, 1.083757822] \end{eqnarray*}$

Naja und dieser richtungsvector spannt die Schnittgerade zu ner Ebene auf!

HUCH! HILFEEEEE! Jetzt muss einer mal von euch eingreifen, ich glaube es schweift ab ins falsche! Wo liegt denn da mein Denkfehler???? Grüße

16.04.2006, 13:36

incass

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Ja, jetzt verstehe ich was du meinst.

Der normierte Normalenvektor von Ebene 2 hat nicht die Länge Wurzel6, sondern Wurzel 9 = 3.

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