Eigenvektoren bestimmen

07.07.2008, 16:42

Simon4

Eigenvektoren bestimmen

Hallo. Ich stecke bei einer Aufgabe fest:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Finden Sie eine orthogonale Matrix O, so dass $\begin{eqnarray*} O^{-1}AO = Diagonalmatrix \end{eqnarray*}$ ist.

Um eine solche Matrix O zu konstruieren muss man ja A diagonalisierbar sein. Dann kann man durch Bestimmen der Eigenwerte und Eigenvektoren die Matrizen O und D konstruieren. Also zuerst die Eigenwerte:

$\begin{eqnarray*} p_{A}(\lambda) = det(A - \lambda \cdot I_{n}) = det(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) = det(\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & - \lambda \end{pmatrix}) = - \lambda (2 - \lambda - 1 = \lambda^{2} - 2 \lambda ) - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Man erhält die Nullstellen $\begin{eqnarray*} 1 +- \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ des charakteristischen Polynoms und damit die Eigenwerte von A.

Die Berechung der Eigenvektoren bereitet mir nun jedoch Schwierigkeiten. Ein Eigenvektor soll ja laut Definition die Bedigung $\begin{eqnarray*} A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x} \end{eqnarray*}$ erfüllen. Umgeformt wird dies zu $\begin{eqnarray*} (A - \lambda \cdot I_{n}) \vec{x} = \vec{0} \end{eqnarray*}$ . Damit will ich nun den Eigenvektor des ersten Eigenwerts $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 - (1 + \sqrt{2}) & 1 \\ 1 & - (1 + \sqrt{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dies liefert zwei Gleichungen bei zwei Unbekannten:

$\begin{eqnarray*} (2 - (1 + \sqrt{2})) \cdot x_{1} + x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} - (1 + \sqrt{2}) \cdot x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Versuche ich dieses System zu lösen, erhalte ich nur die offensichtliche Lösung (0 0), wobei dies ja offensichtlich kein Eigenvektor ist. Wie erhalte ich nun den Eigenvektor? Ich vermute, dass das Problem etwas damit zu tun hat, dass der Eigenvektor ja nicht eindeutig ist, sondern nur seine Richtung wichtig ist (also gibt es unendlich viele Vektoren mit gleicher Richtung aber unterschiedlicher Länge). Doch wie erhalte ich hier auf jeden Fall eine Lösung? In der sehr knappen Lösung, welche ich zur Aufgabe habe steht, dass das "Lösen der entsprechenden linearen Gleichungssysteme $\begin{eqnarray*} 2 - (1 +- \sqrt{2})) \cdot x_{1} + x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$ liefert..." (es folgen die Lösungen für die Eigenvektoren). Dies entspricht ja der ersten der obigen beiden Gleichungen. Warum wird nicht auf die zweite Bedingung eingegangen?

Danke.

07.07.2008, 16:55

Rare676

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Deine beiden Gleichungen die du nun hast sind äquivalent.

Dein Eigenvektor hat nun die Koordinaten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stelle nun eine der Gleichungen nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ um um setze ein.

Du bekommst dann alle Eigenvektoren durch rausziehen der jeweiligen Variable.

Beispiel: ( $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ einsetzen),

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ ax_1 \end{pmatrix}=x_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ dann eben dein Streckfaktor wäre und umbenannt werden kann Augenzwinkern

07.07.2008, 17:29

Simon4

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Danke für die schnell Antwort!

Inwiefern sind die beiden Gleichungen äquivalent? Müsste man dann nicht die eine Gleichung in die andere umformen können?

07.07.2008, 18:38

WebFritzi

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Zitat:

Original von Simon4
Müsste man dann nicht die eine Gleichung in die andere umformen können?

Ja, und das kann man. Das ist auch kein Wunder, denn sonst wäre dein eingesetzter Wert für lambda kein Eigenwert.

07.07.2008, 23:42

Simon4

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Oh sorry, irgendwie sehe ich das erst jetzt...

Also ist die einzige Bedingung (für den Eigenwert $\begin{eqnarray*} 1 + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} x_{1} = (1 + \sqrt{2}) \cdot x_{2} \end{eqnarray*}$ ?

Damit kann man $\begin{eqnarray*} x_{1} = 1 \end{eqnarray*}$ setzen und damit erhät man aus $\begin{eqnarray*} 1 = (1 + \sqrt{2}) \cdot x_{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1 \end{eqnarray*}$ (da die Matrix in der Aufgabe orthogonal sein soll, muss man diesen Vektor noch normieren).

Eine allgemeine Frage noch: Streckt man einen Eigenvektor um einen beliebigen Faktor (ausser 0) gehört dieser Vektor ja immer noch zum gleichen Eigenwert. Möchte man nun eine Matrix O mit den obigen Eigenschaften (ausser dass die orthogonal sein muss) konstruieren, enthält ja O genau die Eigenvektoren als Spaltenvektoren. Müssen diese irgendwie normiert sein oder dürfen sie beliebig gestreckt sein, so lange sie noch zum richtigen Eigenwert gehören?

14.07.2008, 19:45

Simon4

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Weiss das niemand?

Mittlerweile sind noch zwei weitere Fragen aufgetaucht:

1.) WebFritzi meinte, dass es kein Eigenwert wäre, wenn man die eine Gleichung nicht in die andere Umformen könnte. Gibt es diesbezüglich eine allgemeine Regel? Also sollten sich immer eine gewisse Anzahl Gleichungen beim Berechnen von Eigenwerten entsprechen?

2.) Man soll die Eigenvektoren folgender Matrix bestimmen

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als Eigenwert erhält man einzig $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ .

Also kommt man auf das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus erhält man dreimal dieselbe Gleichung, nämlich $\begin{eqnarray*} 2x_{1} + x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ , woraus die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_{1} = - \frac{1}{2} \cdot x_{3} \end{eqnarray*}$ ergibt.

Daraus ergeben sich nun die Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{v_{1}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v_{2}} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dürfte ich hier anstatt dem zweiten Vektor auch den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v_{3}} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wählen? $\begin{eqnarray*} \vec{v_{1}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v_{3}} \end{eqnarray*}$ wären dann ja immer noch linear unabhängig. Falls ja, dürfte man aus diesen drei Vektoren eine beliebige Kombination von zwei wählen (z.B. für die QR-Zerlegung)?

Danke vielmals.

edit: Latex mal wieder.

15.07.2008, 09:15

klarsoweit

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Da die drei Vektoren paarweise linear unabhängig sind, kannst du nach Belieben zwei davon als Basis des Lösungsraums nehmen.

22.07.2008, 23:31

Simon4

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RE: Eigenvektoren bestimmen
Weiss jemand vielleicht noch eine Antwort auf eine oder beide dieser Fragen?

Zitat:

Original von Simon4
1.) WebFritzi meinte, dass es kein Eigenwert wäre, wenn man die eine Gleichung nicht in die andere Umformen könnte. Gibt es diesbezüglich eine allgemeine Regel? Also sollten sich immer eine gewisse Anzahl Gleichungen beim Berechnen von Eigenwerten entsprechen?

Zitat:

Original von Simon4
Eine allgemeine Frage noch: Streckt man einen Eigenvektor um einen beliebigen Faktor (ausser 0) gehört dieser Vektor ja immer noch zum gleichen Eigenwert. Möchte man nun eine Matrix O mit den obigen Eigenschaften (ausser dass die orthogonal sein muss) konstruieren, enthält ja O genau die Eigenvektoren als Spaltenvektoren. Müssen diese irgendwie normiert sein oder dürfen sie beliebig gestreckt sein, so lange sie noch zum richtigen Eigenwert gehören?

23.07.2008, 08:47

Nubler

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verwendet man normierte vektoren, ist das invertieren wesentlich einfacher

btw: für 2x2 matrix A gilt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1+\lambda_2=Tr(A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1\lambda_2=det(A) \end{eqnarray*}$

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