ableitung von potenzreihen

16.04.2006, 13:48

Flinz

ableitung von potenzreihen

könnt ihr mir kurz bei nem standard helfen? ableitung von potenzreihen, erst einmal speziell der sinus.

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} sinx = \frac{d}{dx} \sum_{n =0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n =1}^\infty (-1)^{n} \frac{(2n+1) x^{2n}}{(2n+1)!} = \sum_{n =1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \neq \sum_{n =0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = cosx \end{eqnarray*}$

Wie komm ich beim letzten ausdruck zum gewünschten? Wenn ich n wieder auf null runtersetz gehts nicht..

Anderes beispiel wo ich ein problem habe ist die ln(1+x) reihe, hier z.b.:

es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} ln(1+x) = \sum_{n =0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$

also müsste doch , da $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} ln(1+x) = \frac{1}{1 + x} \end{eqnarray*}$ gelten

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} ln(1+x) = \sum_{n =1}^\infty (-1)^{n} \frac{(n+1) x^{n}}{n+1} = \sum_{n =1}^\infty (-1)^{n} x^{n} \end{eqnarray*}$ und das muss eigentlich gleich der gemoetrischen reihe sein um auf das gewünschte zu kommen.. wegen der unteren summationsgrenze gilt aber leider:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n =1}^\infty (-1)^{n} x^{n} = \sum_{n =0}^\infty (-1)^{n+1} x^{n+1} \neq \sum_{n =0}^\infty (-1)^{n} x^{n} = \frac{1}{1 - (-x)} \end{eqnarray*}$

Ich scheine also was mit den unteren grenzen falsch zu machen.. hat jemand ne idee was?

16.04.2006, 13:55

Calvin

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RE: ableitung von potenzreihen

Zitat:

Original von Flinz
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \sum_{n =0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n =1}^\infty (-1)^{n} \frac{(2n+1) x^{2n}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Warum läßt du die Summe plötzlich bei 1 loslaufen? Die Summe läuft weiterhin von 0 bis unendlich. Wenn überhaupt, dann müsstest du die obere Grenze um 1 erniedrigen. Da dann aber weiterhin unendlich bleiben würde, ist das hier nicht nötig. Gleiches gilt für die Aufgabe mit dem Logarithmus.

16.04.2006, 14:06

Flinz

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RE: ableitung von potenzreihen
aufgrund der definition der ableitung von potenzreihen... auch müsstest du das meiner meinung machen, da du sonst ab und an bei nem negativen index beginnst, so z.b. wäre dann wenn ich den index in ruhe lasse:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \sum_{n =0}^\infty x^n = \sum_{n =0}^\infty n x^{n-1} \end{eqnarray*}$ , was für n=0 den ersten summand 0 * 1/x ergibt.. stört eigentlich nicht weiter. aber die lehrbücher setzen immer den index hoch, vgl. forster analysis I seite 230 oder auch
http://www.ruhr-uni-bochum.de/num1/skripten/mbbi2.pdf seite 11 oder andere..

wenn ichs nicht machen würde würden die beispiele von vorher schon funktionieren.. aber einmal was zu machen und ein andern mal nicht - ist wenig mathe.. wo ist denn der unterschied bei den fällen? wann setze ich ihn hoch (den unteren index) wann nicht?

16.04.2006, 14:13

Calvin

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Schau dir mal das Beispiel mit dem Sinus an:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\ldots \end{eqnarray*}$

Leite das mal ab. Dann siehst du, dass der neue Index immer noch bei 0 beginnen muss. Sonst fehlt dir der erste Summand.

16.04.2006, 14:14

Flinz

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hast recht. aber wieso definiert man es dann so dass man den index hoch setzt? vgl. den link z.b.

16.04.2006, 14:23

Flinz

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weiterer link
auch z.b.:
http://www.mat.univie.ac.at/~kriegl/Skri...ak2/node24.html

ungefähr in der mitte (such nach "Operationen für Potenzreihen")

16.04.2006, 18:33

Calvin

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Ich denke nicht, dass das so definiert ist. Bei beiden wird nur als Beispiel die geometrische Reihe genommen. Bei dieser fällt durch das Ableiten der Summand mit dem Index 0 weg (bzw. wird gleich 0). Damit ist es egal, ob die Reihe bei n=0 oder n=1 anfängt.

Wenn du ganz sicher gehen willst, dann schreibe dir die ersten paar Summanden der Reihe mal hin und überprüfe für dich, wie es sich mit dem kleinsten Index verhält.

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